2016年上海市数学高考真题理科

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．设xR，则不等式31x的解集为____________．2．设32iiz，其中i为虚数单位，则Imz____________．3．已知平行直线1:210lxy，2:210lxy，则1l，2l的距离____________．4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是____________（米）．5．已知点3,9在函数1xfxa的图象上，则fx的反函数1fx____________．6．在正四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD的边长为3，1BD与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程3sin1cos2xx在区间0,2上的解为____________．8．在32nxx的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于____________．9．已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____________．10．设0a，0b，若关于x，y的方程组11axyxby无解，则ab的取值范围为____________．11．无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和，若对任意*nN，2,3nS，则k的最大值为____________．12．在平面直角坐标系中，已知1,0A，0,1B，P是曲线21yx上一个动点，则BPBA的取值范围是____________．13．设a，bR，0,2c，若对于任意实数x都有2sin3sin3xabxc，则满足条件的有序实数组,,abc的组数为____________．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形128AAA的中心，11,0A任取不2016年上海市数学高考真题（理科）同的两点iA，jA，点P满足ij0OPOAOA，则点P落在第一象限的概率是____________．二、选择题15．设aR，则“1a”是“21a”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．65cosB．65sinC．65cosD．65sin17．已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且limnnSS，下列条件中，使得*2nSSnN恒成立的是（）A．10a，0.60.7qB．10a，0.70.6qC．10a，0.70.8qD．10a，0.80.7q18．设fx、gx、hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①fxgx、fxhx、gxhx均为增函数，则fx、gx、hx中至少有一个增函数②若fxgx、fxhx、gxhx均是以T为周期的函数，则fx、gx、hx均是以T为周期的函数下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19．将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，弧AC长为23，弧11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧．（1）求三棱锥111COAB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小．20．有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为1,0，如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的经验值为83．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值．21．双曲线2221yxb0b的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过2F且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为2，1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且110FAFBAB，求l的斜率．22．已知aR，函数2logfx1ax．（1）当a=5时，解不等式0fx；（2）若关于x的方程2log4250fxaxa的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设0a，若对任意1,12t，函数fx在区间,1tt上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23．若无穷数列na满足：只要pqaa*,pqN，必有11pqaa，则称na具有性质P．（1）若na具有性质P，且11a，22a，43a，52a，67821aaa，求3a；（2）若无穷数列nb是等差数列，无穷数列nc是公比为正数的等比数列，151bc；5181bc，nnnabc，判断na是否具有性质P，并说明理由；（3）设nb是无穷数列，已知1sinnnnaba*nN，求证：“对任意1a，na都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”．参考答案1、2,42、-33、2554、1.765、2log1x，1x6、227、6或568、1129、73310、2,11、412、0,1213、414、52815、A16、D17、B18、D19、（1）312（2）45°20、（1）2yx,01x（2）五边形EMOGH的面积更接近1S的面积21、（1）2yx（2）155k22、（1）或1|04xxx禳镲镲-睚镲镲铪（2）12a，或3a或4a（3）23a23、（1）316a（2）na不具有P的性质，证明略（3）证明略