工程测试第二章--测试系统基本特性2-PPT课件

二阶系统：灵敏度归一化后有：)()(dd2dd2n2nn22txtytyty2．典型二阶测量系统的频率响应典型二阶测量系统的微分方程通式为)()(d)(dd)(d001222txbtyattyattya式中——测量系统的固有圆频率，——测量系统的阻尼比系数，20naa2012aaan典型例：图所示弹簧－质量－阻尼系统其微分方程为)()(dddd22tkxtkytyctym改写为)()(dd2dd2n2nn22txtytyty传递函数：2nn22n2)(sssH2nn1()12jH2n222n)(4])(1[1)(A2nn)(1)(2arctan)(频率响应函数：幅频特性：相频特性：图2-15二阶系统频谱特性（1）＜1，时，，幅频特性平直，输出与输入为线性关系；很小，与为线性关系。n1)(A)()(系统的输出y(t)真实准确地再现输入x(t)的波形，这是测试设备应有的性能。结论：为了使测试结果能精确地再现被测信号的波形，在传感器设计或测量系统设计时，必须使其阻尼比＜1，固有圆频率至少应大于被测信号频率的（3～5）倍，即≥(3～5)。nn为减小动态误差和扩大频响范围，一般应提高测量系统的固有频率，提高是通过减小系统运动部分质量和增加弹性敏感元件的刚度来实现的（）。但刚度k增加，必然使灵敏度按相应比例减小。nnmkn（2）阻尼比是测量系统设计和选用时要考虑的另一个重要参数。＜1，为欠阻尼；=1，为临界阻尼；＞1，为过阻尼。一般系统都工作于欠阻尼状态3、测试系统对典型激励的响应函数（1）单位脉冲输入下系统的脉冲响应函数单位脉冲函数δ(t)，其傅立叶变换Δ(ω)=1。同样，对于δ(t)的拉氏变换Δ(s)=L[δ(t)]。因此，测试装置在激励输入信号为δ(t)时的输出将是Y(s)=H(s)X(s)=H(s)Δ(s)=H(s)。对Y(s)作拉普拉斯反变换可得装置输出的时域表达h(t)为称装置的脉冲响应函数或权函数。thsYLty1对于一阶惯性系统，其传递函数可求得它们的脉冲响应函数图2-13一阶惯性系统的脉冲响应函数11()1111()[()]1tHssshtLHSe对于一个二阶系统，其传递函数为则可求得其脉冲响应函数(欠阻尼情况,ς1)12122nnsssHtethntnn221sin1图2-18二阶系统的脉冲响应函数公式中所应用的单位脉冲函数在实际中是不存在的，工程中常采取时间较短的脉冲信号来加以近似。比如给系统以短暂的冲击输入，其冲击持续的时间若小于τ/10，则可近似认为是一个单位脉冲输入。精确的和近似的脉冲响应系统对任意激励信号的响应是该输入激励信号与系统的脉冲响应函数的卷积。根据卷积定理，上式的复数域表达式则为)(*)()(thtxty)()()(sHsXsY（2）、单位阶跃输入下系统的响应函数111,()1()1(0)()0(0),1()()()()1111111111()11()[()]1tthteHssxttxttXssYsHsXsssssabssssytLYSe求一阶系统单位阶跃响应一阶系统脉冲响应函数及传递函数单位阶跃函数单位阶跃函数拉氏变换单位阶跃响应拉氏变换反拉氏变换得：单位阶跃响应图2-20一阶系统对单位阶跃输入的响应当时间t=4τ，y(t)=0.982，此时系统输出值与系统稳定时的响应值之间的差已不足2%，可近似认为系统已到达稳态。一阶装置的时间常数应越小越好。阶跃输入方式简单易行，因此也常在工程中采用来测量系统的动态特性。二阶系统单位阶跃响应2n22nn22222()21()()()()()1sin(1)11arctanntnHsssXssYsHsXseytt•二阶系统传递函数•单位阶跃函数拉氏变换•单位阶跃响应拉氏变换•反拉氏变换得：单位阶跃响应图2-21二阶系统对单位阶跃的响应•小结：阶跃响应函数方程式中的误差项均包含有因子e-AT项，故当t→∞时，动态误差为零，亦即它们没有稳态误差。但是系统的响应在很大程度上取决于阻尼比ς和固有频率ωn，ωn越高，系统的响应越快，阻尼比ς直接影响系统超调量和振荡次数。当ς1时，若选择ς在0.6~0.8之间，最大超调量约在2.5%~10%之间，对于5%~2%的允许误差而认为达到稳态的所需调整时间也最短，约为(3~4)/ςωn。因此，许多测量装置在设计参数时也常常将阻尼比选择在0.6~0.8之间。（3）单位斜坡输入下系统的响应函数单位斜坡函数一阶系统单位斜坡响应传递函数为一阶系统的单位斜坡响应为系统的输出总滞后于输入一个时间τ，因此系统始终存在有一个稳态误差。特别：输入：则响应：系统的输出滞后于输入一个时间τ。单位斜坡函数一阶系统的单位阶跃响应000tttttetty1112sssY000ttktt[1]tytkte二阶系统的斜坡输入响应为：欠阻尼情况：其中其传递函数为：二阶系统斜坡响应tettynntnn221sin121212arctan2222222nnnssssY2.4测试系统对任意输入的响应输入信号x(t)，可将其用一系列等间距Δτ划分的矩形条来逼近。则在kΔτ时刻的矩形条的面积为x(kΔτ)Δτ。若Δτ充分小，则可近似将该矩形条看作是幅度为x(kΔτ)Δτ的脉冲对系统的输入。而系统在该时刻的响应则应该为[x(kΔτ)Δτ]h(t-kΔτ)。在上述一系列的窄矩形脉冲的作用下，根据线性时不变系统的线性特性，系统的零状态响应为图任意输入x(t)的脉冲函数分解0)()()(kkthkxty在t=nτ时刻，窄条脉冲引起的响应为:x(nτ)τh(t-nτ)tx(nτ)τh(t-nτ)0各脉冲引起的响应之和即为输出y(t)0()()()nytxnhtnty(t)0当Δτ→0（即k→∞），对上述式子取极限得上述推导过程亦即卷积公式的另一种推导过程。将上式写为上式表明，系统对任意激励信号的响应是该输入激励信号与系统的脉冲响应函数的卷积。根据卷积定理，上式的频域表达式则为000)()()()(lim)(dthxkthkxtyk)(*)()(thtxty)()()(sHsXsY()();()();()*()()();LTLTLThtHsxtXshtxtHsXs如果则方法为：先求拉氏变换，后求拉氏反变换。)(*)()(txthty()()()YsHsXs1()[()]ytLYs卷积分的傅立叶变换计算法：x(t)h(t)y(t)输入量系统特性输出表：一阶和二阶系统对各种典型输入信号的响应上表中21221()()1dnarctgarctg一阶系统阶跃响应例子例：一阶温度计时间常数为6秒，在75oC时突然将其承受一个从75oC-300oC的阶跃温度变化，求在过程开始后10秒温度计显示的温度。解：温度方程一阶系统阶跃响应开始时温度为75oC考虑到初始温度的解为：10秒时度计显示温度为：61606106d()6()(30075)225d()225(1)()225(1)()75225(1)(10)75225(1)257.5()tttoTtTttTteTtTeTteTec例：上例中，变成在300oC时突然将其承受一个从300oC-75oC的阶跃温度变化，求在过程开始后10秒温度计显示的温度。解：温度方程开始时温度为300oC考虑到初始温度的解为：温度计显示温度为：606106d()6()(75300)225d()225(1)()300225(1)(10)300225(1)117.5()ttoTtTttTtTeTteTec一阶系统频率输入响应例子•例：一阶温度计时间常数为10秒，测量在75oC-300oC之间按余弦函数形式变化的气体温度，周期为20秒，求温度计显示的温度?如果要求温度计显示的温度精确到真实温度的99%，此时的时间常数为多少？•解：温度计输入：•要测稳态输出，所以187.5是•常数，只影响初始条件，不是•阶跃•因此温度方程输入为余弦：•幅频特性及输出幅值：•相位差，时间滞后：•考虑初始条件的稳态输出方程：•精确到99%的时间常数：02(30075)(30075)2()cos()22202187.5112.5cos()20d()210()112.5cos()d202111()112.5*34()203.33.321(10*)20272.3arctan(10*)72.3()*204()20360()187.534cos(72.310ioTtttTtTtttAcsTtt2)10.99,0.4521(*)20os应用：传递函数的测量(正弦波法)依次用不同频率fi的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相位，得到幅值比Ai、相位差φi。依据：频率保持性若x(t)=Acos(ωt+φx)则y(t)=Bcos(ωt+φy)优点：简单，信号发生器，双踪示波器缺点：效率低从系统最低测量频率fmin到最高测量频率fmax，逐步增加正弦激励信号频率f，记录下各频率对应的幅值比和相位差，绘制就得到系统幅频和相频特性。脉冲响应函数测量若装置的输人为单位脉冲δ(t)，因δ(t)的傅立叶变换为1，有：Y(S)=H(S)，或y(t)=F-1[H(S)]优点：直观缺点：简单系统识别记为h(t)，称它为脉冲响应函数。H(S)固频、阻尼参数傅立叶变换案例:桥梁固有频率用脉冲响应函数测量原理：在桥中设置一三角形障碍物，利用汽车碍时的冲击对桥梁进行激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。阶跃响应函数测量若系统输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)，则X(s)=1/s，此时Y(s)=H(s)/sH(S)时域波形参数识别阶跃响应函数测量实验求阶跃响应函数简单明了，产生一个阶跃信号，再测量系统输出就可以了。原理：在桥中悬挂重物，然后突然剪断绳索，产生阶跃激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。桥梁固有频率用阶跃响应函数测量作业•P67•2-4，•2-6，•2-8求稳态响应的幅值及相位差（均值为零不用求）。（提示：一阶及二阶串联，幅值相乘，相位差相加。对比标准一阶及二阶系统，系数即为灵敏度。）