高考卷 普通高等学校招生考试北京理科数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知costan0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xfxx≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)，3．平面∥平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线aa，∥，∥Ｂ．存在一条直线aaa，，∥Ｃ．存在两条平行直线ababab，，，，∥，∥Ｄ．存在两条异面直线abaab，，，∥，∥4．已知O是ABC△所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC0，那么（）Ａ．AOODＢ．2AOODＣ．3AOODＤ．2AOOD5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220xyxyyxya≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）Ａ．43a≥Ｂ．01a≤Ｃ．413a≤≤Ｄ．01a≤或43a≥7．如果正数abcd，，，满足4abcd，那么（）Ａ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｂ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｃ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一Ｄ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)fxx，②2()(2)fxx，③()cos(2)fxx，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)fx是偶函数；命题乙：()fx在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；命题丙：(2)()fxfx在()，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③Ｂ．①②Ｃ．③Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．22(1)i．10．若数列na的前n项和210(123)nSnnn，，，，则此数列的通项公式为；数列nna中数值最小的项是第项．11．在ABC△中，若1tan3A，150C，1BC，则AB．12．已知集合|1Axxa≤，2540Bxxx≥．若AB，则实数a的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于．14．已知函数()fx，()gx分别由下表给出则[(1)]fg的值为；满足[()][()]fgxgfx的x的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求na的通项公式．16．（本小题共14分）如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)M，，AB边所在直线的方程为360xy，点(11)T，在AD边所在直线上．（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点(20)N，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．x123()fx131x123()gx321OCADB18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记2CDx，梯形面积为S．（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．20．已知集合12(2)kAaaak，，，≥，其中(12)iaikZ，，，，由A中的元素构成两个相应的集合：()SabaAbAabA，，，，()TabaAbAabA，，，．其中()ab，是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P．（I）检验集合0123，，，与123，，是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：(1)2kkn≤；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．1231020304050参加人数活动次数4rCDAB2r2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ＣＢＤＡＢＤＡＤ1．∵costan0，∴当cosθ0，tanθ0时，θ∈第三象限；当cosθ0，tanθ0时，θ∈第四象限，选C。2．函数()3(02)xfxx≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，，∴选B。3．平面∥平面的一个充分条件是“存在两条异面直线abaab，，，∥，∥”，选D。4．O是ABC△所在平面内一点，D为BC边中点，∴2OBOCOD，且2OAOBOC0，∴220OAOD，即AOOD，选A5．5名志愿者先排成一排，有55A种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A=960种不同的排法，选B。6．不等式组220xyxyyxya≥，≤，≥，≤，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，(32，32)，第四个不等式xya，表示的是斜率为－1的直线的下方，∴当0a≤1时，表示的平面区域是一个三角形，当a≥34时，表示的平面区域也是一个三角形，选D。7．正数abcd，，，满足4abcd，∴4=2abab，即4ab，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=2()2cdcd，∴c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值都为2，选A。8．函数①()lg(21)fxx，函数(2)fx=lg(||1)x是偶函数；且()fx在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；yx23,231210但对命题丙：(2)()fxfx=||1lg(||1)lg(|2|1)lg|2|1xxxx在x∈(－∞,0)时，(||1)12lglglg(1)(|2|1)213xxxxx为减函数，排除函数①，对于函数③，()cos(2)fxx函数(2)cos(2)fxx不是偶函数，排除函数③只有函数②2()(2)fxx符合要求，选D。二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号91011121314答案i211n,3102(23)，7251，29．22(1)i22ii。10．数列na的前n项和210(123)nSnnn，，，，数列为等差数列，数列的通项公式为1nnnaSS=211n，数列nna的通项公式为2211nnann，其中数值最小的项应是最靠近对称轴114n的项，即n=3，第3项是数列nna中数值最小的项。11．在ABC△中，若1tan3A，150C，∴A为锐角，1sin10A，1BC，则根据正弦定理ABsinsinBCCA=102。12．集合|1Axxa≤={x|a－1≤x≤a+1}，2540Bxxx≥={x|x≥4或x≤1}．又AB，∴1411aa，解得2a3，实数a的取值范围是(2，3)。13．图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a,b，则2225162abab，∴两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cosθ=54，cos2θ=2cos2θ－1=725。14．[(1)]fg=(3)1f；当x=1时，[(1)]1,[(1)](1)3fggfg，不满足条件，当x=2时，[(2)](2)3,[(2)](3)1fgfgfg，满足条件，当x=3时，[(3)](1)1,[(3)](1)3fgfgfg，不满足条件，∴只有x=2时，符合条件。三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（I）12a，22ac，323ac，因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23)cc，解得0c或2c．当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故2c．（II）当2n≥时，由于21aac，322aac，1(1)nnaanc，所以1(1)[12(1)]2nnnaancc．又12a，2c，故22(1)2(23)nannnnn，，．当1n时，上式也成立，所以22(12)nannn，，．16．（共14分）解法一：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，又二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD．平面COD平面AOB．（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO∥，CDE是异面直线AO与CD所成的角．OCADBE在RtCOE△中，2COBO，112OEBO，225CECOOE．又132DEAO．在RtCDE△中，515tan33CECDEDE．异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3．（III）由（I）知，CO平面AOB，CDO是CD与平面AOB所成的角，且2tanOCCDOODOD．当OD最小时，CDO最大，这时，ODAB，垂足为D，3OAOBODAB，23tan3CDO，CD与平面AOB所成角的最大值为23arctan3．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则(000)O，，，(0023)A，，，(200)C，，，(013)D，，，(00