高考卷 普通高等学校招生考试江西 理科数学全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学全解全析本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．第I卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率()(1)kknknnPkCPP其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简224(1)ii的结果是（）Ａ．2iＢ．2iＣ．2iＤ．2i解析：224(1)ii=iii2242，选C2．321lim1xxxx（）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在解析：321lim1xxxx=1lim21xx，选B3．若πtan34，则cot等于（）Ａ．2Ｂ．12Ｃ．12Ｄ．2解析：由πtan34得21tan3tan4tan1tan4tan，所以cot=2，选A4．已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．7解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n=64，所以n=6，选C5．若π02x，则下列命题中正确的是（）Ａ．3sinπxxＢ．3sinπxxＣ．224sinπxxＤ．224sinπxx解析：用特殊值法，取ｘ＝3可排除B、C，取x=6可排除A，选D6．若集合012M，，，()210210NxyxyxyxyM，≥且≤，，，则N中元素的个数为（）Ａ．9Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．2解析：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，选C7．如图，正方体1AC的棱长为1，过点A作平面1ABD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误．．的命题是（）Ａ．点H是1ABD△的垂心Ｂ．AH垂直平面11CBDＣ．AH的延长线经过点1CＤ．直线AH和1BB所成角为45解析：因为三棱锥A—1ABD是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；AD1D1C1A1BBHC面1ABD∥面11CBD，而AH垂直平面1ABD，所以AH垂直平面11CBD，B正确；根据对称性知C正确。选D8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h，2h，3h，4h，则它们的大小关系正确的是（）Ａ．214hhhＢ．123hhhＣ．324hhhＤ．241hhh解析：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为2h，最低为4h，选A9．设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2，右焦点为(0)Fc，，方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x，则点12()Pxx，（）Ａ．必在圆222xy内Ｂ．必在圆222xy上Ｃ．必在圆222xy外Ｄ．以上三种情形都有可能解析：由1e2=ac得a=2c，b=c3，所以21,232121acxxabxx，所以点12()Pxx，到圆心（0，0）的距离为2471432)(212212221xxxxxx，所以点P在圆内，选A10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．118解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有36个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为1216183，选B11．设函数()fx是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线()yfx在5x处的切线的斜率为（）Ａ．15Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．5解析：因为()fx是R可导偶函数，所以()fx的图象关于y轴对称，所以()fx在x=0处取得极值，即0)0('f，又()fx的周期为5，所以0)5('f，即曲线()yfx在5x处的切线的斜率0，选B12．设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：P中f（x）单调递增，只需04m，即m≥0，故P是q的必要不充分条件，选B2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第II卷注意事项：第II卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．设函数24log(1)(3)yxx≥，则其反函数的定义域为．解析：反函数的定义即为原函数的值域，由x≥3得x-1≥2，所以1)1(log2x，所以y≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）14．已知数列na对于任意*pqN，，有pqpqaaa，若119a，则36a．解析：由题意得,9162,982,942,922816482412aaaaaaaa4936,9322432361632aaaaa，填415．如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填216．设有一组圆224*:(1)(3)2()kCxkykkkN．下列四个BAONCM命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交Ｄ．所有的圆均不．经过原点其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）解析：圆心为（k-1，3k）半径为22k，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B正确；由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确；若存在圆过原点（0，0），则有424222121029)1(kkkkkk（*)Nk因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点。填B、D三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()2(1)xccxxcfxkcx≤在区间(01)，内连续，且29()8fc．（1）求实数k和c的值；（2）解不等式2()18fx．解：（1）因为01c，所以2cc，由29()8fc，即3918c，12c．又因为4111022()1212xxxfxkx≤在12x处连续，所以215224fk，即1k．（2）由（1）得：4111022()12112xxxfxx≤由2()18fx得，当102x时，解得2142x．当112x≤时，解得1528x≤，所以2()18fx的解集为2548xx．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2yxxR，≤≤的图象与y轴交于点(03)，，且在该点处切线的斜率为2．（1）求和的值；（2）已知点π02A，，点P是该函数图象上一点，点00()Qxy，是PA的中点，当032y，0ππ2x，时，求0x的值．解：（1）将0x，3y代入函数2cos()yx得3cos2，因为02≤≤，所以6．又因为2sin()yx，02xy，6，所以2，因此2cos26yx．（2）因为点02A，，00()Qxy，是PA的中点，032y，所以点P的坐标为0232x，．又因为点P在2cos26yx的图象上，所以053cos462x．因为02x≤≤，所以075194666x≤≤，从而得0511466x或0513466x．即023x或034x．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经yx3OAP过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A，2A，3A，（1）设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()PEPAAAPAAAPAAA0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p，所以~(30.3)B，，故30.30.9Enp．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件ABC，，，则()()()0.3PAPBPC，所以3(0)(10.3)0.343P，2(1)3(10.3)0.30.441P，2(2)30.30.70.189P，3(3)0.30.027P．于是，()10.44120.18930.0270.9E．20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知11111ABBC，11190ABC，14AA，12BB，13CC．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面111ABC；（2）求二面角1BACA的大小；（3）求此几何体的体积．ABCO1A1B1C解：解法一：（1）证明：作1ODAA∥交11AB于D，连1CD．则11ODBBCC∥∥．因为O是AB的中点，所以1111()32ODAABBCC．则1ODCC是平行四边形，因此有1OCCD∥．1CD平面111CBA且OC平面111CBA，则OC∥面111ABC．（2）如图，过B作截面22BAC∥面111ABC，分别交1AA，1CC于2A，2C．作22BHAC于H，连CH．因为1CC面22BAC，所以1CCBH，则BH平面1AC．又因为5AB，2BC，2223ACABBCAC．所以BCAC，根据三垂线定理知CHAC，所以BCH∠就是所求二面角的平面角．因为22BH，所以1sin2BHBCHBC∠，故30BCH∠，即：所求二面角的大小为30．（3）因为22BH，所以222211121(12)233222BAACCAACCVSBH．1