高考卷 普通高等学校招生考试宁夏海南理理科数学（宁夏、 海南卷）

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、海南卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x，2x，，nx的标准差锥体体积公式222121[()()()]nsxxxxxxn13VSh其中x为样本平均数其中S为底面面积、h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式VSh24πSR，34π3VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:pxR，sin1x≤，则（）Ａ．:pxR，sin1x≥Ｂ．:pxR，sin1x≥Ｃ．:pxR，sin1xＤ．:pxR，sin1x【答案】：C【分析】：p是对p的否定，故有：,xRsin1.x2．已知平面向量(11)(11)，，，ab，则向量1322ab（）Ａ．(21)，Ｂ．(21)，Ｃ．(10)，Ｄ．(12)，【答案】：D【分析】：1322ab(12).，3．函数πsin23yx在区间ππ2，的简图是（）【答案】：A【分析】：π3()sin2,32f排除Ｂ、Ｄ，π()sin20,663f排除Ｃ。也可由五点法作图验证。4．已知na是等差数列，1010a，其前10项和1070S，则其公差d（）Ａ．23Ｂ．13Ｃ．13Ｄ．23【答案】：D【分析】：1101011()105(10)704.2aaSaa1012.93aadyx1123O6yx1123O6yx1123O6yx261O13Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．PDCBA5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S（）Ａ．2450Ｂ．2500Ｃ．2550Ｄ．2652【答案】：C【分析】：由程序知，15021222502502550.2S6．已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222()()PxyPxy，，，，333()Pxy，在抛物线上，且2132xxx，则有（）Ａ．123FPFPFPＢ．222123FPFPFPＣ．2132FPFPFPＤ．2213FPFPFP·【答案】：C【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：2132FPFPFP．7．已知0x，0y，xaby，，，成等差数列，xcdy，，，成等比数列，则2()abcd的最小值是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．4【答案】：D【分析】：,,abxycdxy222(2)()()4.xyabxycdxyxy8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm3Ｂ．38000cm3Ｃ．32000cmＤ．34000cm开始1k0S50?k≤？是2SSk1kk否输出S结束2020正视图20侧视图101020俯视图【答案】：B【分析】：如图，18000202020.33V9．若cos22π2sin4，则cossin的值为（）Ａ．72Ｂ．12Ｃ．12Ｄ．72【答案】：C【分析】：22cos2cossin22(sincos),π22sin(sincos)421cossin.210．曲线12exy在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e【答案】：D【分析】：11221(),2xxyee曲线在点2(4e)，处的切线斜率为212e，因此切线方程为221(4),2yeex则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),ABe所以：221||2.2AOBSee11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123sss，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）Ａ．312sssＢ．213sssＣ．123sssＤ．231sss【答案】：B【分析】：(78910)58.5,20x甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664h1h(h2)PDCBAECBFAOyx(710)6(89)48.5,20x乙2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s(710)4(89)68.5,20x丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s22213213.ssssss2由得12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h，2h，h，则12::hhh（）Ａ．3:1:1Ｂ．3:2:2Ｃ．3:2:2Ｄ．3:2:3【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥PABE的各棱长为a，则四棱锥PABCD的各棱长也为a，于是22122(),22haaa222326(),232haaah12::3:2:2.hhh第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：||||63.||||2OFFCcOAABa14．设函数(1)()()xxafxx为奇函数，则a．【答案】：-1【分析】：(1)(1)02(1)00,1.ffaa15．i是虚数单位，51034ii．（用abi的形式表示，abR，）【答案】：12i【分析】：510(510)(34)255012.34(34)(34)25iiiiiiii16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）【答案】：240【分析】：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240.CCA种安排方法。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得BCDBDCCDs，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．解：在BCD△中，πCBD．由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD．所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD．在ABCRt△中，tansintansin()sABBCACB．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC°，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO平面ABC；（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值．证明：（Ⅰ）由题设ABACSBSC===SA，连结OA，ABC△为等腰直角三角形，所以22OAOBOCSA，且AOBC，又SBC△为等腰三角形，故SOBC，且22SOSA，从而222OASOSA．所以SOA△为直角三角形，SOAO．又AOBOO．所以SO平面ABC．（Ⅱ）解法一：取SC中点M，连结AMOM，，由（Ⅰ）知SOOCSAAC，，得OMSCAMSC，．OMA∴为二面角ASCB的平面角．由AOBCAOSOSOBCO，，得AO平面SBC．所以AOOM，又32AMSA，故26sin33AOAMOAM．所以二面角ASCB的余弦值为33．解法二：以O为坐标原点，射线OBOA，分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz．设(100)B，，，则(100)(010)(001)CAS，，，，，，，，．OSBACOSBACMSC的中点11022M，，，111101(101)2222MOMASC，，，，，，，，．00MOSCMASC，∴··．故,MOSCMASCMOMA，，等于二面角ASCB的平面角．3cos3MOMAMOMAMOMA，··，所以二面角ASCB的余弦值为33．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和Q．（I）求k的取值范围；（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB，，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程得22(2)12xkx．整理得22122102kxkx①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于2221844202kkk，解得22k或22k．即k的取值范围为2222，，∞∞．OSBACMxzy（Ⅱ）设1122()()PxyQxy，，，，则1212()OPOQxxyy，，由方程①，1224212kxxk．②又1212()22yykxx．③而(20)(01)(21)ABAB，，，，，．所以OPOQ与AB共线等价于12122()xxyy，将②③代入上式，解得22k．由（Ⅰ）知22k或22k，故没有符合题意的常数k．20．（本小题满分12分）如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mSn.假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．（I）求X的均值EX；（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)，内的概率．附表：10000100000()0.250.75kttttPkCk2424242525742575()Pk0.04030.04230.95700.9590解：每个点落入M中的概率均为14p．依题意知1~100004XB，．（Ⅰ）11000025004EX．DCBAM（Ⅱ）依题意所求概率为0.03410