高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A，，{234}B，，，则AB（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1234}，，，解析：AB{1，3}∩{2，3，4}={3}，选C2．若函数()yfx的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()yfx的图象必过点（）A．(51)，B．(15)，C．(11)，D．(55)，解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选A3．双曲线221169xy的焦点坐标为（）A．(70)，，(70)，B．(07)，，(07)，C．(50)，，(50)，D．(05)，，(05)，解析：因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为(50)，，(50)，，选C4．若向量a与b不共线，0ab，且aac=abab，则向量a与c的夹角为（）A．0B．π6C．π3D．π2解析：因为0)(22babaaaca，所以向量a与c垂直，选D5．设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A．63B．45C．36D．27解析：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B6．若mn，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（）A．若m，，则mB．若m，m∥，则C．若，⊥，则D．若m，n，mn∥，则∥解析：由有关性质排除A、C、D，选B7．若函数()yfx的图象按向量a平移后，得到函数(1)2yfx的图象，则向量a=（）A．(12)，B．(12)，C．(12)，D．(12)，解析：函数(1)2yfx为)1(2xfy，令2,1''yyxx得平移公式，所以向量a=(12)，，选C8．已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy≤，≥，≤，则yx的取值范围是（）A．965，B．965，，C．36，，D．[36]，解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（29,25），yx表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（29,25）时取最小值59，选A9．函数212log(56)yxx的单调增区间为（）A．52，B．(3)，C．52，D．(2)，解析：定义域为(2)，∪(3)，，排除A、C，根据复合函数的单调性知212log(56)yxx的单调增区间为(2)，，选D10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（）A．122B．111C．322D．211解析：从中任取两个球共有66212C种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有122326CC种取法，概率为1126612，选D11．设pq，是两个命题：251:||30:066pxqxx，，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：),3()3,(，q：),21()31,(，结合数轴知p是q的充分而不必要条件，选A12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)a，，，，若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法种数为（）A．18B．30C．36D．48解析：分两步：（1）先排531,,aaa，1a=2，有2种；1a=3有2种；1a=4有1种，共有5种；（2）再排642,,aaa，共有633A种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()yfx为奇函数，若(3)(2)1ff，则(2)(3)ff．解析：由函数()yfx为奇函数得(2)(3)ff(3)(2)1ff，填114．41()xxx展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）．解析：2488481)1()(rrrrrrxCxxCT，当r=0，4，8时为含x的整数次幂的项，所以展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为72884808CCC，填7215．若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为．解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由12)6()6()2(222R得R=3，球体积为34343R16．设椭圆2212516xy上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足1()2OMOPOF，则||OM．解析：椭圆2212516xy左准线为325x，左焦点为（-3，0），P（)328,35，由已知M为PF中点，M（)324,32，所以||OM2)324()32(22三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，)频数4812120822319316542频率（I）将各组的频率填入表中；（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．（I）解：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，)频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042··········································································································4分（II）解：由（I）可得0.0480.1210.2080.2230.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．·························································································8分（III）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率0.6P，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得223333(2)(3)C0.60.40.60.648PP．所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648．····························12分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，ACBCa，DE，分别为棱ABBC，的中点，M为棱1AA上的点，二面角MDEA为30．（I）证明：111ABCD；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．（I）证明：连结CD，三棱柱111ABCABC是直三棱柱，1CC平面ABC，CD为1CD在平面ABC内的射影．ABC△中，ACBC，D为AB中点，ABCD，1ABCD．11ABAB∥，111ABCD．1A1C1BCBAMDE1A1C1BCBAMDEFG（II）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF．DE，分别为ABBC，的中点，DEAC⊥．又AFCE∥，CEAC⊥．AFDE⊥．MA⊥平面ABC，AF为MF在平面ABC内的射影．MFDE⊥．MFA为二面角MDEA的平面角，30MFA．在RtMAF△中，122aAFBC，30MFA，36AMa．作AGMF⊥，垂足为G，MFDE⊥，AFDE⊥，DE⊥平面DMF，平面MDE⊥平面AMF，AG⊥平面MDE．在RtGAF△中，30GFA，2aAF，4aAG，即A到平面MDE的距离为4a．CADE∥，CA∥平面MDE，C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为4a．解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF．DE，分别为ABBC，的中点，DEAC∥．又AFCE∥，CEDEAFDE⊥．MA⊥平面ABC，AF是MF在平面ABC内的射影，MFDE⊥．MFA为二面角MDEA的平面角，30MFA．在RtMAF△中，122aAFBC，30MFA，36AMa．···························································································8分设C到平面MDE的距离为h，MCDECMDEVV．1133CDEMDESMASh△2128CDEaSCEDE△，36MAa，211322cos3012MDEAFSDEMFDEa△，221313386312aaah，4ah，即C到平面MDE的距离为4a．·······················································12分19．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sinsin2cos662xfxxxxR，（其中0）（I）求函数()fx的值域；（II）若函数()yfx的图象与直线1y的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()yfx的单调增区间．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．（I）解：3131()sincossincos(cos1)2222fxxxxxx312sincos122xxπ2sin16x．····················································································5分由π1sin16x≤≤，得π32sin116x≤≤，可知函数()fx的值域为[31]，．························