高考卷 普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学(含详细解析)

2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学(含详细解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1、设集合{4,5,6,8}M，集合{3,5,7,8}N，那么MN（）（A）{3,4,5,6,7,8}（B）{5,8}（C）{3,5,7,8}（D）{4,5,6,8}M解析：选A．2、函数2()1logfxx与1()2xgx在同一直角坐标系下的图象大致是（）解析：选C．3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（）（A）150.2克（B）149.8克（C）149.4克（D）147.8克解析：选Ｂ．4、如图，1111ABCDABCD为正方体，下面结论错误．．的是（）（A）//BD平面11CBD（B）1ACBD（C）1AC平面11CBD（D）异面直线AD与1CB所成的角为60°解析：选Ｄ．5、如果双曲线22142xy上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）（A）463（B）263（C）26（D）23解析：选A．由点P到双曲线右焦点(6,0)的距离是2知P在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离是263，双曲线的右准线方程是263x，故点P到y轴的距离是463．6、设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是2，且二面角BOAC的大小是3，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（）（A）76（B）54（C）43（D）32解析：选C．42323dABBCCA．本题考查球面距离．7、等差数列{}na中，11a，3514aa，其前n项和100nS，则n（）（A）9（B）10（C）11（D）12解析：选Ｂ．8、设(,1)Aa，(2,)Bb，(4,5)C为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）（A）453ab（B）543ab（C）4514ab（D）5414ab解析：选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得OAOCOBOC4585ab，453ab．9、用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）48个（B）36个（C）24个（D）18个解析：选Ｂ．个位是2的有33318A个，个位是4的有33318A个，所以共有36个．10、已知抛物线23yx上存在关于直线0xy对称的相异两点A、B，则AB等于（）（A）3（B）4（C）32（D）42解析：选C．设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb，进而可求出AB的中点11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0xy上可求出1b，∴220xx，由弦长公式可求出221114(2)32AB．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）（A）36万元（B）31.2万元（C）30.4万元（D）24万元解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的32倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．12、如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则⊿ABC的边长是（）（A）23（B）364（C）3174（D）2213解析：选D．过点Ｃ作2l的垂线4l，以2l、4l为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设(,1)Aa、(,0)Bb、(0,2)C，由ABBCAC知2222()149abba边长，检验A：222()14912abba，无解；检验B：22232()1493abba，无解；检验D：22228()1493abba，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．13、1()nxx的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是．解析：8n．14、在正三棱柱111ABCABC中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC与侧面11ACCA所成的角是____________解析：13BC，点B到平面11ACCA的距离为32，∴1sin2，30．15、已知O的方程是2220xy，'O的方程是228100xyx，由动点P向O和'O所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________解析：O：圆心(0,0)O，半径2r；'O：圆心'(4,0)O，半径'6r．设(,)Pxy，由切线长相等得222xy22810xyx，32x．16、下面有5个命题：①函数44sincosyxx的最小正周期是；②终边在y轴上的角的集合是{|,}2kkZ；③在同一坐标系中，函数sinyx的图象和函数yx的图象有3个公共点；④把函数3sin(2)3yx的图象向右平移6得到3sin2yx的图象；⑤角为第一象限角的充要条件是sin0其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）解析：①4422sincossincos2yxxxxcosx，正确；②错误；③sinyx，tanyx和yx在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．三、解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品．（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率．（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A．用对立事件A来算，有4()1()10.20.9984PAPA（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i件”(1,2)i为事件iA．11173122051()190CCPAC2322203()190CPAC∴商家拒收这批产品的概率1251327()()19019095PPAPA．故商家拒收这批产品的概率为2795．18、（本小题满分12分）已知1cos7，13cos()14，且π02．（Ⅰ）求tan2的值；（Ⅱ）求．解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．（Ⅰ）由1cos7，π02，得22143sin1cos1()77．∴sin437tan43cos71．于是222tan24383tan21tan471(43)．（Ⅱ）由π02，得02．又∵13cos()14，∴221333sin()1cos()1()1414．由()，得coscos[()]coscos()sinsin()113433317147142，∴π3．19、（本小题满分12分）如图，平面PCBM平面ABC，90PCB，//PMBC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又1AC，22BCPM，90ACB．（Ⅰ）求证：ACBM；（Ⅱ）求二面角MABC的大小；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积．解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．（Ⅰ）∵平面PCBM平面ABC，ACBC，AC平面ABC．∴AC平面PCBM又∵BM平面PCBM∴ACBM（Ⅱ）取BC的中点N，则1CN．连接AN、MN．∵平面PCBM平面ABC，平面PCBM平面ABCBC，PCBC．∴PC平面ABC．∵//PMCN，∴//MNPC，从而MN平面ABC．作NHAB于H，连结MH，则由三垂线定理知ABMH．从而MHN为二面角MABC的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴60AMN．在ACN中，由勾股定理得2AN．在RtAMN中，36cot233MNANAMN．在RtBNH中，15sin155ACNHBNABCBNAB．在RtMNH中，6303tan355MNMHNNH故二面角MABC的大小为30tan3arc（Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．设0(0,0,)Pz0(0)z，有(0,2,0)B，(1,0,0)A，0(0,1,)Mz．0(1,1,)AMz，0(0,0,)CPz由直线AM与直线PC所成的角为60°，得cos60AMCPAMCP即22000122zzz，解得063z．∴6(1,1,)3AM，(1,2,0)AB设平面MAB的一个法向量为1111(,,)nxyz，则由6003020nAMxyznABxy，取16z，得1(4,2,6)n取平面ABC的一个法向量为2(0,0,1)n则12cos,nn121263913261nnnn由图知二面角MABC为锐二面角，故二面角MABC的大小为39arccos13．（Ⅲ）多面体PMABC就是四棱锥ABCPM1111166()(21)13323236PMABCAPMBCPMBCVVSACPMCBCPAC20、（本小题满分12分）设函数3()fxaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导函数'()fx的最小值为12．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．（Ⅰ）∵()fx为奇函数，∴()()fxfx即33axbxcaxbxc∴0c∵2'()3fxaxb的最小值为12∴12b又直线670xy的斜率为16因此，'(1)36fab∴2a，12b，0c．（Ⅱ）3()212fxxx．2'()6126(2)(2)fxxxx，列表如下：x(,2