高考卷 普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 理科数学全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学全解全析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1、复数311iii的值是（）（A）0（B）1（C）1（D）i解析：选A．23331(1)201(1)(1)2iiiiiiiiiii．本题考查复数的代数运算．2、函数2()1logfxx与1()2xgx在同一直角坐标系下的图象大致是（）解析：选C．注意1(1)()22xxgx的图象是由2xy的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．3、2211lim21xxxx（）（A）0（B）1（C）12（D）23解析：选D．本题考查00型的极限．原式11(1)(1)12limlim(1)(21)213xxxxxxxx或原式122lim413xxx．4、如图，1111ABCDABCD为正方体，下面结论错误．．的是（）（A）//BD平面11CBD（B）1ACBD（C）1AC平面11CBD（D）异面直线AD与1CB所成的角为60解析：选D．显然异面直线AD与1CB所成的角为45．5、如果双曲线22142xy上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）（A）463（B）263（C）26（D）23解析：选A．由点P到双曲线右焦点(6,0)的距离是2知P在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离是263，双曲线的右准线方程是263x，故点P到y轴的距离是463．6、设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是2，且二面角BOAC的大小是3，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（）（A）76（B）54（C）43（D）32解析：选C．42323dABBCCA．本题考查球面距离．7、设(,1)Aa，(2,)Bb，(4,5)C为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）（A）453ab（B）543ab（C）4514ab（D）5414ab解析：选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OAOCOBOC即4585ab，453ab．8、已知抛物线23yx上存在关于直线0xy对称的相异两点A、B，则AB等于（）（A）3（B）4（C）32（D）42解析：选C．设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb，进而可求出AB的中点11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0xy上可求出1b，∴220xx，由弦长公式可求出221114(2)32AB．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．9、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）（A）36万元（B）31.2万元（C）30.4万元（D）24万元解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的32倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．10、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有341496A个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有3423144A个；故共有96144240个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．11、如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则⊿ABC的边长是（）（A）23（B）364（C）3174（D）2213解析：选D．过点Ｃ作2l的垂线4l，以2l、4l为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设(,1)Aa、(,0)Bb、(0,2)C，由ABBCAC知2222()149abba边长，检验A：222()14912abba，无解；检验B：22232()1493abba，无解；检验D：22228()1493abba，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．12、已知一组抛物线2112yaxbx，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x交点处的切线相互平行的概率是（）（A）112（B）760（C）625（D）516解析：选B．这一组抛物线共4416条，从中任意抽取两条，共有216120C种不同的方法．它们在与直线1x交点处的切线的斜率1'|xkyab．若5ab，有两种情形，从中取出两条，有22C种取法；若7ab，有三种情形，从中取出两条，有23C种取法；若9ab，有四种情形，从中取出两条，有24C种取法；若11ab，有三种情形，从中取出两条，有23C种取法；若13ab，有两种情形，从中取出两条，有22C种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有222222343214CCCCC种，故所求概率为760．本题是把关题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．13、若函数2()()xfxe（e是自然对数的底数）的最大值是m，且()fx是偶函数，则m________．解析：1m，0n，∴1m．14、在正三棱柱111ABCABC中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC与侧面11ACCA所成的角是____________解析：13BC，点B到平面11ACCA的距离为32，∴1sin2，30．15、已知O的方程是2220xy，'O的方程是228100xyx，由动点P向O和'O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是__________________解析：O：圆心(0,0)O，半径2r；'O：圆心'(4,0)O，半径'6r．设(,)Pxy，由切线长相等得222xy22810xyx，32x．16、下面有5个命题：①函数44sincosyxx的最小正周期是．②终边在y轴上的角的集合是{|,}2kkZ．③在同一坐标系中，函数sinyx的图象和函数yx的图象有3个公共点．④把函数3sin(2)3yx的图象向右平移6得到3sin2yx的图象．⑤函数sin()2yx在[0,]上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）解析：①4422sincossincos2yxxxxcosx，正确；②错误；③sinyx，tanyx和yx在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos且2,(Ⅰ)求2tan的值.（Ⅱ）求.（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。解：（Ⅰ）由1cos,072，得22143sin1cos177∴sin437tan43cos71，于是222tan24383tan21tan47143（Ⅱ）由02，得02又∵13cos14，∴221333sin1cos11414由得：coscoscoscossinsin113433317147142所以3（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E，并求该商家拒收这批产品的概率.（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算，有4110.20.9984PAPA（Ⅱ）可能的取值为0,1,22172201360190CPC，11317220511190CCPC，2322032190CPC136513301219019019010E记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率136271119095PPB所以商家拒收这批产品的概率为2795（19）（本小题满分12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC;（Ⅱ）求二面角BACM的大小;（Ⅲ）求三棱锥MACP的体积.（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（Ⅰ）∵,,PCABPCBCABBCB∴PCABC平面，又∵PCPAC平面∴PACABC平面平面012P136190511903190（Ⅱ）取BC的中点N，则1CN，连结,ANMN，∵//PMCN，∴//MNPC，从而MNABC平面作NHAC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，ACNH，从而MHN为二面角MACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为060∴060AMN在ACN中，由余弦定理得2202cos1203ANACCNACCN在AMN中，3cot313MNANAMN在CNH中，33sin122NHCNNCH在MNH中，123tan332MNMNMHNNH故二面角MACB的平面角大小为23arctan3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形∴0113sin1203212PMACAPCMAMNCMACNVVVVACCNMN解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz（如图）由题意有31,,022A，设000,0,0Pzz，则000310,1,,,,,0,0,22MzAMzCPz