高考卷 普通高等学校招生考试湖南 数学（文史类）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学（文史类）全解全析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式2xx的解集是A．,0B.0,1C.1,D.,01,【答案】D【解析】由2xx得x（x-1）0，所以解集为,01,2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是A．EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOE【答案】B【解析】由向量的减法知EFOFOE3.设2:400pbaca，2:00qxaxbxca关于的方程有实根，则p是q的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】判别式大于0，关于x的方程)0(02acbxax有实根；但关于x的方程)0(02acbxax有实根，判别可以等于04．在等比数列nanN中，若1411,8aa，则该数列的前10项和为A．8122B.9122C.10122D.11122【答案】B【解析】由21813314qqqaa，所以91010212211)21(1S5．在1nxnN的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则nA．8B.9C.10D.11【答案】C【解析】只有5x的系数最大，5x是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=106．如图1，在正四棱柱1111ABCDABCD中，E、F分别是11ABC、B的中点，则以下结论中不成立的是A．1EFBB与垂直B.EFBD与垂直C.EF与CD异面D.EF11与AC异面【答案】D【解析】连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF//AC21，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以1EFBB与垂直；又AC⊥BD，所以EFBD与垂直，EF与CD异面。由EF//AC21，AC∥A1C1得EF∥A1C17．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是A．48米B.49米C.50米D.51米【答案】C【解析】由频率分布直方图知水位为50米的频率/组距为1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。8．函数244()43xfxxx11xx的图象和函数2()loggxx的图象的交点个数是A．1B.2C.3D.4【答案】C图1图2【解析】由图像可知交点共有3个。9．设12FF、分别是椭圆222210xyabab的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且122FFFP，则椭圆的离心率是A．312B.12C.512D.22【答案】D【解析】由已知P（cca3,2），所以222)3()(2cccac化简得220222aceca10.设集合1,2,3,4,5,6M，12SSMk、、、S都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的,,,,1,2,3,,iiijjjSabSabijijk、，都有min,min,min,jjiiiijjababxybaba表示两个数x、y中的较小者.则k的最大值是A．10B.11C.12D.13【答案】B【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个。二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11.圆心为1,1且与直线4xy相切的圆的方程是.【答案】22(1)(1)2xy【解析】半径R=22|411|，所以圆的方程为22(1)(1)2xy12.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为abc、、，若1,3,3acC，则A=.【答案】π6【解析】由正弦定理得21323sinsinsinsincCaACcAa，所以A=π613.若232340,,log9aaa则.【答案】3【解析】由9432a得323)32()94(a，所以3)32(loglog33232a14.设集合,||2|,0,,|,AxyyxxBxyyxbAB，（1）b的取值范围是.（2）若,,xyAB且2xy的最大值为9，则b的值是.【答案】（1）[2)，（2）92【解析】（1）由图象可知b的取值范围是[2)，；（2）若,,xyAB则（x，y）在图中的四边形内，t=2xy在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=9215.棱长为1的正方形1111ABCDABCD的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是；设E、F分别是该正方形的棱11AA、DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为.【答案】3π，2【解析】正方体对角线为球直径，所以432R，所以球的表面积为3π；由已知所求EF是正方体在球中其中一个截面的直径，d=23,21R，所以224143r，所以EF=2r=2。三．解答题：本大题共６小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分１２分）已知函数212sin2sincos888fxxxx.求：22b(Ⅰ)函数fx的最小正周期；（Ⅱ）函数fx的单调增区间.解：ππ()cos(2)sin(2)44fxxxπππ2sin(2)2sin(2)2cos2442xxx．（I）函数()fx的最小正周期是2ππ2T；（II）当2ππ22πkxk≤≤，即πππ2kxk≤≤（kZ）时，函数()2cos2fxx是增函数，故函数()fx的单调递增区间是π[ππ]2kk，（kZ）．17.（本小题满分１２分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且()0.6PA，()0.75PB．（I）解法一任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1PPABPAPB所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P．解法二任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45PPABPAB该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45PPAB．所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9PP．（II）解法一任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243PC．3人都参加过培训的概率是350.90.729P．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972PP．解法二任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.97218.（本小题满分１4分）如图，已知直二面角45PQAPQBCBAP，，，，，直线CA和平面所成的角为30.(Ⅰ)证明BCPQ；(Ⅱ)求二面角BACP的大小.解：（I）在平面内过点C作COPQ⊥于点O，连结OB．因为⊥，PQ，所以CO⊥，又因为CACB，所以OAOB．而45BAO，所以45ABO，90AOB．从而BOPQ⊥．又COPQ⊥，所以PQ⊥平面OBC．因为BC平面OBC，故PQBC⊥．（II）解法一：由（I）知，BOPQ⊥，又⊥，PQ，BO，所以BO⊥．过点O作OHAC⊥于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC⊥．故BHO是二面角BACP的平面角．由（I）知，CO⊥，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAO．在RtOAB△中，45ABOBAO，所以3BOAO，于是在RtBOH△中，3tan232BOBHOOH．故二面角BACP的大小为arctan2．ABCQPOH解法二：由（I）知，OCOA⊥，OCOB⊥，OAOB⊥，故可以O为原点，分别以直线OBOAOC，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO⊥，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO．不妨设2AC，则3AO，1CO．在RtOAB△中，45ABOBAO，所以3BOAO．则相关各点的坐标分别是(000)O，，，(300)B，，，(030)A，，，(001)C，，．所以(330)AB，，，(031)AC，，．设1n{}xyz，，是平面ABC的一个法向量，由1100nABnAC，得33030xyyz，取1x，得1(113)n，，．易知2(100)n，，是平面的一个法向量．设二面角BACP的平面角为，由图可知，12nn，．所以121215cos5||||51nnnn．故二面角BACP的大小为5arccos5．19.（本小题满分13分）已知双曲线222xy的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）.（Ｉ）证明CACB为常数；（Ⅱ）若动点MCMCACBCO满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程.解：由条件知(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．（I）当AB与x轴垂直时，可设点AB，的坐标分别为(22)，，(22)，，ABCQPOxyz此时(12)(12)1CACB，，．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk．代入222xy，有2222(1)4(42)0kxkxk．则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk，2122421kxxk，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CACBxxyyxxkxx2221212(1)(21)()41kxxkxxk2222222(1)(42)4(21)4111kkkkkkk22(42)411kk．综上所述，CACB为常数1．（II）解法一：设()Mxy，，则(1)CMxy，，11(1)CAxy，，22(1)CBxy，，(10)CO，．由CMCACBCO得：121213xxxyyy，即12122xxxyyy，于是AB的中点坐标为222xy，．当AB不与x轴垂直时，121222222yyyyxxxx，即1212()2yyyxxx．又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(2)()xxxyyy