高考数学复习 第1讲 多面体与球课件

专题五立体几何【专题概述】立体几何部分着重考查空间中点、线、面位置关系的判断及空间角等几何量的计算,既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.一般来说,选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单求解等.空间线面位置关系的题能较全面地考查考生的空间想象能力和对立体几何基础知识的掌握程度,也是一个理想的命题方式.立体几何解答题在考查空间想象能力的前提下,重点考查逻辑推理能力,考查方式一般是空间线面位置关系的证明和空间角的计算.高考真题自测热点考向突破第1讲多面体与球体验高考1.(2012年高考新课标全国卷,文8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为(B)(A)6π(B)43π(C)46π(D)63π高考真题自测—夯基础提速度解析:如图所示,设截面圆的圆心为O',A为截面圆上任一点,则O'A=1,OO'=2,∴OA=3,V球=34π×(3)3=43π.故选B.2.(2012年高考重庆卷,文9)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是(A)(A)(0,2)(B)(0,3)(C)(1,2)(D)(1,3)解析:如图所示,设AB=a,则CD=2,其余各棱为1,则易知△ACD为直角三角形,△BCD为直角三角形,取CD的中点M,则AM⊥CD,BM⊥CD,AM=22,BM=22,故a的最小值应大于0,而a的最大值应小于BM+MA=2,即小于2.∴a的取值范围是(0,2),故选A.3.(2013年高考大纲全国卷,文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=23,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于.解析:如图所示,公共弦为AB,设球的半径为R,则AB=R.取AB中点M,连接OM、KM,由圆的性质知OM⊥AB,KM⊥AB,所以∠KMO为圆O与圆K所在平面所成的一个二面角的平面角,则∠KMO=60°.在Rt△KMO中,OK=23,所以OM=60sinOK=3.在Rt△OAM中,因为OA2=OM2+AM2,所以R2=3+41R2,解得R2=4,所以球O的表面积为4πR2=16π.答案:16π感悟备考本讲是每年高考中的常考内容,主要考查简单多面体与球的几何特征、性质和表面积、体积,通常以客观题的形式出现,难度中等或以下,重点考查空间想象能力、推理和计算能力.从近几年的高考命题可以看出,很少单独命题直接考查多面体与球的概念和性质,更多趋向于柱、锥体与球的组合体的表面积和体积的计算,有时涉及到平面图形的翻折、最值等问题,突出空间想象能力和分析、解决问题的能力的培养.在备考中要掌握常见简单几何体的结构特征及常见组合体间的关系.考向一空间几何体的结构特征1.热点内容依据柱、锥、台、球的结构特征及相关性质解题.2.问题引领(1)有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥吗?(2)有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?答案:(1)不一定,其余各面有一个公共顶点时,才是棱锥.(2)不一定.热点考向突破—讲策略促迁移【例1】如图是一个几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、F分别为PA、PD的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④该几何体一定是正四棱锥.其中正确的结论序号是()(A)②③(B)①②(C)②④(D)①④解析:将展开图还原成四棱锥,如图所示.图(1)为正四棱锥,图(2)为一般四棱锥.图(1)图(2)均有可能,所以④错误;由四棱锥直观图可知,当E、F分别为PA、PD的中点时,BE与CF共面且相交,所以①错误;BE与AF异面,所以②正确,因为EF∥AD∥BC且EF平面PBC,所以EF∥平面PBC,所以③正确,故选A.考向二几何体的表面积与体积1.分析几何体的构成是简单几何体或是简单几何体的组合体.2.确定基本量:底面边长、高、母线、半径等及其之间的相互关系(必要时借助于模型或构造直角三角形利用勾股定理来求解).3.求解所求的表面积或体积时,注意等体积法、割补法的应用.【例2】(2012年高考江苏卷)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥ABB1D1D的体积为cm3.解析:由题意知,四边形ABCD为正方形,连结AC,交BD于O,则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理,可证AO⊥平面BB1D1D.∵AB=AD=3,∴AC=BD=32,OA=223,因为四棱锥底面BB1D1D的面积为32×2=62,所以DDBBAV11=31×OA×DDBBS11矩形=6.答案:6热点训练2圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是cm.解析:设球的半径为rcm,∵V球+V水=V柱,∴3×34πr3+πr2×8=πr2×6r,∴r=4.答案:4考向三球面距离问题1.球面距离是球的大圆上一段劣弧的长,所以求球面距离,就是求以球心O为顶点的扇形的弧长,为此需要求出扇形的中心角的弧度数,而要求该角,又通常需要解三角形,利用勾股定理或余弦定理求解.2.与球面距离有关的问题,常涉及到球的截面、球的半径之间的关系,需要借助图形想象、推断和计算.【例3】(2012年高考四川卷)如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足∠BOP=60°,则A、P两点间的球面距离为()(A)Rarccos42(B)4πR(C)Rarccos33(D)3πR解析:由题意知,OA⊥α,平面BCD与平面α的夹角为45°,如图所示,连结OE,OE为OB在平面α上的射影,所以∠BOE=45°.过点A作AH⊥平面BCD于点H,则H一定落在OB上,∴∠AOH为OA与平面BCD所成的角.且∠AOH=∠AOE-∠BOE=45°.又∠BOP=60°,由cos∠AOP=cos∠AOB·cos∠BOP=cos45°·cos60°=42.∴∠AOP=arccos42,∴AP=Rarccos42.故选A.本题利用最小角定理cos∠AOP=cos∠AOB·cos∠BOP简化了计算量,从而减少了计算错误的发生.热点训练3如图所示,在半径为3的球面上有A、B、C三点,∠ABC=90°,BA=BC,球心O到平面ABC的距离是223,则B、C两点的球面距离是()(A)3π(B)π(C)34π(D)2π解析:由球的截面圆的性质知,球心O在平面ABC的射影为AC中点,由勾股定理知截面圆的半径r=222233=223,故BC=3.所以△OBC为正三角形,即∠BOC=3π,所以B、C两点的球面距离为3×3π=π,故选B.【备选例题】【例题】已知正方形ABCD的边长为22,将△ABC沿对角线AC折起,使平面ABC⊥平面ACD,得到如图所示的三棱锥BACD.若O为AC边的中点,M,N分别为线段DC,BO上的动点(不包括端点),且BN=CM.设BN=x,则三棱锥NAMC的体积y=f(x)的函数图象大致是()解析:由平面ABC⊥平面ACD,且O为AC的中点可知BO⊥平面ACD,易知BO=2,故三棱锥NAMC的高为ON=2-x,S△AMC=21MC·AD=2x,故三棱锥NAMC的体积为y=f(x)=31·(2-x)·2x=-32(x2-2x)(0x2),函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分,故选B.