高考数学复习 第1讲 三角函数的图象和性质课件

专题二三角函数【专题概述】三角函数的图象、性质和三角恒等变换、解三角形等内容,历来是高考命题的热点,是变换思想与数形结合思想运用的典范,也是函数思想方法的实践和应用.本部分内容常侧重于三角函数性质和图象的研究,同时又注重三角恒等变换的考查和应用,与解三角形、向量等内容相结合,更是检验综合能力的重要形式.高考对本专题的命题一般是一道选择题(或填空题)和一道解答题,分值在17分左右,属于中、低档题.高考真题自测热点考向突破第1讲三角函数的图象和性质体验高考1.(2013年高考大纲全国卷,文9)若函数y=sin(ωx+)(ω0)的部分图象如图,则ω等于(B)(A)5(B)4(C)3(D)2解析:由图象知2T=40πx-x0=4π,T=2π.由π2=2π得ω=4.故选B.高考真题自测—夯基础提速度2.(2012年高考湖南卷,理6)函数f(x)=sinx-cos6πx的值域为(B)(A)[-2,2](B)[-3,3](C)[-1,1](D)2323，解析:f(x)=sinx-cos6πx=sinx-23cosx+21sinx=23sinx-32cosx=3sin6πx,所以函数f(x)的值域为[-3,3],故选B.3.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ,文16)函数y=cos(2x+)(-π≤≤π)的图象向右平移2π个单位后,与函数y=sin3π2x的图象重合,则||=.解析:函数y=cos(2x+)的图象向右平移2π个单位,得到y=sin3π2x,即y=sin3π2x向左平移2π个单位,得到函数y=cos(2x+),y=sin3π2x向左平移2π个单位,得y=sin3π2π2x=sin3ππ2x=-sin3π2x=cos3π22πx=cos65π2x,即=65π.答案:65π4.(2012年高考北京卷,文15)已知函数f(x)=xxxxsin2sincossin.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递减区间.解:(1)由sinx≠0,得x≠kπ(k∈Z),∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.∵f(x)=xxxxsin2sincossin=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=2sin42πx-1.∴f(x)的最小正周期为T=22π=π.(2)函数y=sinx的单调递减区间为232,22ππππkk(k∈Z),由2kπ+2π≤2x-4π≤2kπ+23π(k∈Z),得kπ+83π≤x≤kπ+87π(k∈Z),∴f(x)的单调递减区间为87,83ππππkk(k∈Z).感悟备考1.命题与备考高考对这部分内容的考查主要以三角函数的单调性、对称性、最值、周期性以及三角函数的图象的平移变换为主.在备考时不仅要掌握三角变换的基本公式,能运用作函数图象的方法直观地判断三角函数所具有的性质与特点,还要会运用解决函数问题的一般方法来解决三角函数问题.2.小题快做在求三角函数的对称轴和对称中心时,可根据三角函数的对称轴在“波峰”与“波谷”处,对称中心为图象与x轴的交点,采用特例验证法求解.该类真题在平时练习中要达到在1分钟内准确求解.考向一利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值此类问题一般是先化简题目已知条件或目标式,把已知和求解之间的关系明朗化后,再求解.热点考向突破—讲策略促迁移【例1】(1)已知sin(π-α)=-2sinπ2,则sinα·cosα等于()(A)52(B)-52(C)52或-52(D)-51(2)若α∈(0,π),sinα+cosα=213,则tanα的值为()(A)-33或-3(B)-33(C)-3(D)-23解析:(1)由已知得sinα=-2cosα,∴tanα=-2,∴sinα·cosα=22cossincossin=1tantan2=142=-52,故选B.(2)由于sinα+cosα=213,∴1+2sinαcosα=4324,∴2sinαcosα=-23,∴(sinα-cosα)2=4324,易知α∈，ππ2,∴sinα-cosα=213,从而可得sinα=23,cosα=-21,∴tanα=-3,故选C.关注细节(1)利用同角三角函数基本关系式可以实现同角三角函数之间的相互转化,特别是“1”的代换技巧值得注意.如本例(1)中把分母1换为sin2α+cos2α.(2)中利用平方关系sin2α+cos2α=1实现了sinα±cosα与sinαcosα之间的联系.(2)利用诱导公式可以实现从大角到小角,从复角到单角的转化,还可以实现三角函数名称的改变.从而达到角统一的目的,进而解决三角函数式的化简求值问题.注意整体思想和方程思想的应用.如(2)小题.热点训练1(1)设tan(π+α)=2,则)cos()sin()(cos)sin(ππππ等于()(A)3(B)31(C)1(D)-1(2)已知sin(π-α)=log841,且α∈(-2π,0),则tan(2π-α)的值为()(A)-552(B)552(C)±552(D)25解析:(1)∵tan(π+α)=2,∴tanα=2,)cos()sin()(cos)sin(ππππ=aaaacossincossin=aaaacossincossin=1tan1tanaa=1212=3.故选A.(2)∵sin(π-α)=sinα=log841=-32,∴由α∈0,2,得cosα=a2sin1=35,∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-aacossin=552.故选B.考向二三角函数的图象及变换1.三角函数的图象变换重点是横向的平移和伸缩变换,包括两种方式:一是先平移后伸缩,二是先伸缩后平移,两者不同.特别注意第二种变换方式,由y=sinωx的图象得到y=sin(ωx+)的图象时,可先把y=sin(ωx+)化为y=sinωx,然后得出将y=sinωx的图象沿x轴向左0或向右0平移个单位长度,而不是平移||个单位长度.2.根据y=Asin(ωx+)的部分图象确定其解析式时,通常先由图象的最高点和最低点确定振幅A,再利用周期求出ω,最后通过代点法求初相,求时一定要注意的限制条件.【例2】(1)(2013四川自贡一模)要得到函数y=3cos（2x-π4）的图象,可以将函数y=3sin2x的图象()(A)沿x轴向左平移π8个单位(B)沿x轴向右平移π8个单位(C)沿x轴向左平移π4个单位(D)沿x轴向右平移π4个单位(2)(2013年高考四川卷)函数f(x)=2sin(ωx+)（ω0,π2π2）的部分图象如图所示,则ω、的值分别是()(A)2,-π3(B)2,-π6(C)4,-π6(D)4,π3解析:(1)函数y=3cosπ24x=3sinππ224x=3sin3π24x=-3sin3π24x=3sin3π2π4x=3sinπ24x=3sinπ28x.将函数y=3sin2x的图象沿x轴向左平移π8个单位可得y=3sinπ28x的图象,即y=3cosπ24x的图象.故选A.(2)法一由图象可知2T=1112π-512π=π2,∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+),故排除选项C、D.结合选项,代入点5π,212验证知,选项A满足,故选A.法二由图象可知,2T=1112π-512π=π2,∴T=π,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+).又∵当x=512π时,取最大值2,∴2sin52π12=2,∴56π+=π2+2kπ(k∈Z),即=-π3+2kπ(k∈Z).∵-π2π2,∴取k=0,得=-π3.选A.关注细节函数y=Asin(ωx+)的图象具有以下性质:①函数图象与x轴的交点是其对称中心,且相邻两对称中心之间的距离是函数最小正周期的一半;②一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为函数最小正周期的四分之一.把握住这些性质,就可以准确而快捷地解决这类问题了.热点训练2(1)(2013资阳一模)为了得到函数y=sin6π2x的图象,只需把函数y=sin2x的图象()(A)向左平移6π个长度单位(B)向右平移6π个长度单位(C)向右平移3π个长度单位(D)向左平移12π个长度单位(2)(2013大连一模)已知函数f(x)=Asin(x+)R,0,0,||2xAπ的图象(部分)如图所示,则ω、分别为()(A)2π,6π(B)π,6π(C)π,3π(D)2π,3π解析:(1)函数y=sin6π2x=sin12π2x,故把函数y=sin2x的图象向左平移12π个单位,即可得到y=sin6π2x的图象.故选D.(2)由图象知A=2,T=4×3165=2,∴ω=Tπ2=π.∵函数的图象经过点2,31,∴2=2sinπ31,得3π+=2kπ+2π(k∈Z),∵||2π,∴取k=0,∴=6π,∴ω=π,=6π.故选B.考向三三角函数的性质1.对三角函数的性质可结合图象进行研究.2.对表达式较复杂的三角函数的性质的研究,一般先将所给函数化为y=Asin(ωx+)+B(或y=Acos(ωx+)+B)的形式,然后视“ωx+”为一个整体,再结合三角函数(如y=sinx)的性质研究该函数的性质.【例3】(2012年高考湖北卷)设函数f(x)=sin2ωx+23sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈1,21.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点π,04,求函数f(x)的值域.解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+3sin2ωx+λ=2sinπ26x+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin62πx=±1.所以2ωπ-6π=kπ+2π(k∈Z),即ω=2k+31(k∈Z).又ω∈1,21,k∈Z,所以k=1,故ω=65.所以f(x)的最小正周期是56π.(2)由y=f(x)的图象过点04，π,得f4π=0,即λ=-2sin6265ππ=-2sin4π=-2,即λ=-2.故f(x)=2sin635πx-2,函数f(x)的值域为[-2-2,2-2].关注细节解答本题的关键是灵活运用二倍角公式、辅助角公式将函数转化为y=Asin(ωx+)+B的形式,体现了转化与化归思想.热点训练3(2013年高考安徽卷)已知函数f(x)=4cosωx·sin4πx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间2π,0上的单调性.解:(1)f(x)=4cosωx·sin4πx=22sinωx·cosωx+22cos2ωx=2(sin2ωx+cos2ωx)+2=2sin4π2x+2.因为f(x)的最小正周期为π,且ω0,从而有2π2=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin4π2x+2.若0≤x≤2π,则4