高考数学复习 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质课件

【专题概述】解析几何是高考的重要内容之一,在高考试卷中所占的分数一般在22分左右.一般以两道客观题和一道解答题的形式出现.客观题主要考查直线和圆的方程以及位置关系,椭圆、双曲线或抛物线的概念、标准方程以及简单的几何性质;解答题则主要以直线与抛物线、椭圆的位置关系为主体考查有关的存在性、定点定值与最值、特定字母的取值范围等问题.高考真题自测热点考向突破思想方法感悟第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质体验高考1.(2012年高考重庆卷,理3)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(C)(A)相离(B)相切(C)相交但直线不过圆心(D)相交且直线过圆心高考真题自测—夯基础提速度2.(2012年高考大纲全国卷,文5)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为(C)(A)216x+212y=1(B)212x+28y=1(C)28x+24y=1(D)212x+24y=1解析:由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆方程为2222xyab=1(ab0),由题意知224,4,cac∴22,8,ca∴b2=a2-c2=4,故所求椭圆方程为28x+24y=1.故选C.3.(2013年高考大纲全国卷,文8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且AB=3,则C的方程为(C)(A)22x+y2=1(B)23x+22y=1(C)24x+23y=1(D)25x+24y=1解析:依题意设椭圆C的方程为2222xyab=1(ab0),由条件可得A21,ba,B21,ba,因|AB|=2ba-2ba=22ba=3,即2b2=3a,所以222223,1,baabc解得2,3,ab所以椭圆C的方程为24x+23y=1.故选C.4.(2013年高考大纲全国卷,文12)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若MA·MB=0,则k等于(D)(A)12(B)22(C)2(D)2解析:法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由2(2),8,ykxyx得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=224(2)kk,x1x2=4,由MA·MB=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由MA·MB=0,知MA⊥MB,则|MP|=12|AB|=12(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-1MFk=2.感悟备考直线与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程及a、b、c、e、渐近线及准线之间的相互转化、弦长问题等知识是高考客观题命题的热点,在备考中,(1)熟记各种直线方程及直线位置关系的判定方法.(2)熟记圆的标准方程、一般方程、参数方程及相互转化.(3)熟记三种圆锥曲线的定义、标准方程及字母常数a、b、c、e的几何意义.(4)准确理解双曲线的渐近线及椭圆、抛物线的准线的含义.(5)注意数形结合、分类讨论等常用思想方法的运用.(6)掌握设而不求的整体代入法、点差法、待定系数法等方法的运用.考向一直线方程及位置关系1.求直线方程时要注意的问题(1)求直线方程的本质是确定方程中的系数,基本方法是待定系数法,求解时要根据所给的条件灵活选用直线方程的形式.(2)直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有局限性,在应用时一定要注意对其特殊情况的补充说明.热点考向突破—讲策略促迁移2.直线与直线位置关系的判断方法(1)若给定两条直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,则有下列结论:l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1·k2=-1.(2)若给定的方程是一般式,即l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0,则有下列结论:l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.【例1】(2012年高考浙江卷)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若直线l1∥l2,则2a-2=0,∴a=1,∴a=1是l1∥l2的充要条件,故选C.热点训练1(2011年高考浙江卷)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.解析:由题意得1×2+(-2)·m=0,∴m=1.答案:1考向二利用直线与圆的位置关系求参数直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系的判定方法有两种:(1)几何法:设圆心到直线l的距离为|MN|,则直线l与圆M相离、相切或相交⇔|MN|=22aABbCAB大于r、等于r或小于r.(2)代数法:由2220,()()AxByCxaybr消去y(或消去x)可得形如x2+px+q=0(或y2+py+q=0)的方程.设Δ=p2-4q,则直线l与圆M相离、相切或相交⇔Δ小于0、等于0或大于0.【例2】(2011年高考江西卷)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()(A)33,33(B)3,03∪30,3(C)33,33(D)3,3∪3,3解析:法一(几何法)C1:(x-1)2+y2=1,C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).当m=0时,C2:y=0,此时C1与C2显然只有两个交点;当m≠0时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两个交点,当圆与直线相切时,m=±33,即直线处于两切线之间时满足题意,则-33m0或0m33.综上可知-33m0或0m33.故选B.法二(代数法)当m=0时,C2:y=0,此时曲线C1与C2只有两个交点,因此m≠0.把y=m(x+1)代入到x2+y2-2x=0中,整理得(m2+1)x2+(2m2-2)x+m2=0.由判别式Δ=(2m2-2)2-4m2(m2+1)0及m≠0得-33m0或0m33.故选B.关注细节已知直线与圆的位置关系求斜率、截距等参数的取值范围,可采用代数法和几何法,使用前者不要忽视判别式Δ的作用,使用后者要充分利用图形的几何性质.热点训练2(2012年高考安徽卷)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是()(A)[-3,-1](B)[-1,3](C)[-3,1](D)(-∞,-3]∪[1,+∞)解析:欲使直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可,即22011(1)a≤2,化简得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.故选C.考向三圆锥曲线的方程与性质1.求圆锥曲线方程常用的方法常用的方法有定义法、待定系数法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成22xymn=1(mn≠0),这样可以避免对参数的讨论.2.圆锥曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系,然后把b用a、c代换,求ca的值;在双曲线中,由于e2=1+2ba,故双曲线的渐近线与离心率密切相关.【例3】(1)(2012年高考山东卷)已知双曲线C1:2222xyab=1(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()(A)x2=833y(B)x2=1633y(C)x2=8y(D)x2=16y(2)(2012年高考四川卷)椭圆22xa+25y=1(a为定值,且a5)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.解析:(1)∵双曲线C1:2222xyab=1(a0,b0)的离心率为2,∴ca=22aba=2,∴b=3a,∴双曲线的渐近线方程为3x±y=0,∴抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点0,2p到双曲线的渐近线的距离为3022p=2,∴p=8,∴所求的抛物线方程为x2=16y.故选D,(2)设椭圆的右焦点为F',如图所示,由椭圆定义知|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a.又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF'|+|BF'|=4a,当且仅当AB过右焦点F'时等号成立.此时4a=12,则a=3.故椭圆方程为2295xy=1,所以c=2,所以e=ca=23.答案:(1)D(2)23热点训练3(1)(2012年高考新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则C的实轴长为()(A)2(B)22(C)4(D)8(2)(2012年高考重庆卷)设P为直线y=3bax与双曲线2222xyab=1(a0,b0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.解析:(1)设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a0),抛物线y2=16x的准线为x=-4,由圆锥曲线的对称性及|AB|=43知点(-4,23)在C上,∴a2=16-(23)2=4,∴a=2,∴2a=4,∴C的实轴长为4.故选C.(2)∵直线y=3bax与双曲线2222xyab=1相交,∴由2222,31byxaxyab消去y得x=±324a,又PF1垂直于x轴,∴324a=c,即e=ca=324.答案:(1)C(2)324分类讨论思想在解析几何中的应用【典例】抛物线y2=4px(p0)的焦点为F,P为其上的一点,O为坐标原点,若△OPF为等腰三角形,则这样的P点的个数为()(A)2(B)3(C)4(D)6解析:当|PO|=|PF|时,点P在线段OF的中垂线上,此时,点P的位置有两个;当|OP|=|OF|时,点P的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点P不存在.事实上,F(p,0),若设思想方法感悟—熟题感悟规律P(x,y),则|FO|=p,|FP|=22()xpy,若22()xpy=p,则有x2-2px+y2=0,又因为y2=4px,所以x2+2px=0,解得x=0或x=-2p,当x=0时,不构成三角形.当x=-2p时,与点P在抛物线上矛盾.所以符合要求的P点一共有4个.故选C.方法点睛本题的分类讨论是由于点P的位置变化而引起的.一般由图形的位置或形状变化引起的讨论包括:二次函数对称轴位置的变化;函数问题中区间的变化;函数图象形状的变化;直线由斜率引起的位置变化;圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;立体几何中点、线、面的位置变化等.【备选例题】【例1】过直线l:y=x上的一点P作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1、l2,A、B为切点,当直线l1、l2关于直线y=x对称时,∠APB的度数为.解析:设圆心为D,由题意知PB、PA关于直线PD对称,故当直线l1、l2关于直线y=x对称时,PD⊥l.如图所示.由点到直线的距离公式得|PD|=22.在直角三角形PAD中,|AD|=2,所以∠A