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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高考数学复习 第2讲 空间图形的位置关系与空间角课件
高考真题自测思想方法感悟热点考向突破第2讲空间图形的位置关系与空间角体验高考1.(2012年高考浙江卷,文5)设l是直线,α,β是两个不同的平面(B)(A)若l∥α,l∥β,则α∥β(B)若l∥α,l⊥β,则α⊥β(C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β(D)若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:选项A中两平面可以相交,选项C中若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此选项C错误,选项D中l与β可能平行.故选B.高考真题自测—夯基础提速度2.(2013年高考大纲全国卷,文11)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)(A)32(B)33(C)32(D)31解析:如图所示,连接AC与BD交于点O,连接OC1,过C作CE⊥OC1,垂足为E,连接DE,则∠CDE就是CD与平面BDC1所成的角,设AB=1,则AA1=CC1=2,OC=22,OC1=223,因为21OC1·CE=21OC·CC1,所以CE=32,所以在Rt△CDE中,sin∠CDE=CDCE=32.故选A.3.(2013年高考大纲全国卷,文19)如图,四棱锥PABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(1)证明:PB⊥CD;(2)求点A到平面PCD的距离.(1)证明:取BC的中点E,连接DE,则四边形ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连接OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此,PB⊥CD.(2)解:取PD的中点F,连接OF,则OF∥PB.由(1)知,PB⊥CD,故OF⊥CD.又OD=21BD=2,OP=22ODPD=2,故△POD为等腰三角形,因此OF⊥PD.又PD∩CD=D,所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD,CD⊂平面PCD,AE平面PCD,所以AE∥平面PCD.因此点O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OF=21PB=1,所以A到平面PCD的距离为1.感悟备考1.命题与备考(1)空间中线线、线面、面面位置的考查,主要体现在线面和面面的垂直与平行关系的判断或证明,重点考查判定定理和性质的运用以及转化思想、空间想象能力和推理论证能力.(2)高考中对角的考查主要体现在两异面直线所成的角、线面角和二面角的判断、作法与求解.(3)从近几年的考题可以看出,本讲内容至少有一道解答题出现,综合考查空间线线、线面或面面的位置关系的证明以及空间角的求法,难度中档.在备考时要熟练掌握相关的概念及八个定理(四个判定、四个性质)及其相互间的转化.2.小题快做在判断点线面的位置关系时,要牢牢把握“长方体”模型,利用“长方体”可快速作出判断,如2题中的位置关系,放在长方体中可快速准确求解.考向一空间角的求法1.异面直线所成的角一般可以通过平移转化为两条相交直线的夹角,进而利用解三角形的方法进行求解.在实际图形中往往根据其特点选择一些特殊位置(例如三角形的中位线等)作平行线,有时候也可以通过构造平行四边形而得到平行线,这样得到的角比较容易计算.2.求直线和平面所成的角的关键是:作出直线在平面内的射影,一般射影也是一些特殊的位置,把直线和平面所成的角转化为平面内两条直线所成的角进行求解.热点考向突破—讲策略促迁移3.求二面角大小的方法:(1)找“点”法,根据二面角的面的特殊形状,找棱上的特殊点作为平面角的顶点,解三角形完成.(2)找“线”法,过一个面上的特殊点向另一个面引垂线,利用三垂线定理构造二面角的平面角.(3)找“面”法,找与棱垂直的平面,二面角的平面角隐含在这个垂面中,从而找到平面角,解三角形完成.【例1】已知三棱锥SABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()(A)43(B)45(C)47(D)43解析:设A在平面SBC内的射影为O,由题意知∠ABO即为直线AB与平面SBC所成角,则由等体积法得ABCSV=SBCAV,即31S△ABC·SA=31S△SBC·AO,而S△ABC=21AB·ACsinA=21×2×2×sin60°=3,S△SBC=21BC·222BCSB=21×2×2221)23(=23,所以AO=SBCABCSSAS=3233=23,则sin∠ABO=ABAO=23×21=43.故选D.关注细节求线面角的关键是作出这个角,也就是找出直线在平面上的射影,如本例中,O为A在平面SBC上的射影,则OB即为AB在平面SBC上的射影,进而判断∠OBA即线面角.热点训练1(2012年高考四川卷)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:法一如图所示,取CN的中点K,连结MK,则MK为△CDN的中位线,∴MK∥DN,所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连结A1C1、AM.设正方体棱长为4.则A1K=22324=41,MK=21DN=2224215,A1M=222244=6.∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90°.法二连结D1M,交DN于H.在正方形CDD1C1中,M、N分别为边CD、CC1的中点,∴Rt△DCN≌Rt△D1DM,∴∠CDN=∠DD1M.又∠DD1M+∠DMD1=90°,∴∠CDN+∠DMD1=90°.∴在△DMH内,∠DHM=90°,即DN⊥D1M.又在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1D1⊥平面CDD1C1,DN⊂平面CDD1C1,∴A1D1⊥DN.又A1D1∩D1M=D1,∴DN⊥平面A1D1M,所以DN⊥A1M.所以异面直线A1M与DN所成的角的大小为90°.法三以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则D(0,0,0),N21,1,0,M(0,21,0),A1(1,0,1),∴DN=21,1,0,1MA=1,21,1,∴DN·1MA=1×0+1×21+21×1=0,∴DN⊥1MA,∴A1M与DN所成角的大小为90°.答案:90°考向二空间平行关系的证明1.证明线线平行常用的两种方法(1)构造平行四边形;(2)构造三角形的中位线.2.证明线面平行常用的两种方法(1)转化为线线平行;(2)转化为面面平行.3.证明面面平行的常用的方法是利用判定定理,其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面.【例2】在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF,若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.证明:法一因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,∴∠EGF=90°,∴△ABC∽△EFG,又AB=2EF,∴BC=2FG,连结AF,∵M为AD中点,又FG∥BC∥AM,FG=21BC=21AD=AM,∴四边形AMGF为平行四边形,∴GM∥FA,又FA⊂平面ABFE,GM平面ABFE,∴GM∥平面ABFE.法二∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,∴∠EGF=90°,∴△ABC∽△EFG,又AB=2EF,∴BC=2FG,M为AD中点,取BC中点N,连结GN,MN,则BNFG,∴四边形BNGF为平行四边形,∴GN∥FB.又MN∥AB,且MN⊂平面GMN,GN⊂平面GMN,AB⊂平面ABFE,BF⊂平面ABFE,∴平面GMN∥平面ABFE,又GM⊂平面GMN,∴GM∥平面ABFE.关注细节(1)本例的两种证明方法是证线面平行问题常用的思路,体现了线线、线面和面面平行关系的相互转化.(2)对于平行问题,还可以利用向量法证明.热点训练2如图所示,四棱锥PABCD的底面四边形ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点.证明:PA∥平面BDE.证明:法一连结AC,记AC∩BD=O,连结OE.如图所示,∵底面ABCD为正方形,∴O为AC的中点.又E为PC的中点,∴OE∥AP,而OE⊂平面BDE,PA平面BDE,∴PA∥平面BDE.法二过点A作AF∥DB,交CB的延长线于F点,易知四边形AFBD为平行四边形.∴FB=AD=BC,即B为FC的中点,又E是PC的中点,∴PF∥BE,∵PF平面BDE,BE⊂平面BDE,∴PF∥平面BDE.又AF∥BD,∴AF∥平面BDE.∵AF∩PF=F,∴平面APF∥平面BDE.又PA⊂平面PAF,∴PA∥平面BDE.考向三垂直关系的证明1.证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.2.证明面面垂直的方法主要是判定定理,关键是在一个平面内寻找出另一个平面的一条垂线.3.已知面面垂直时,先得线(在一个面内且垂直于交线)面垂直,再得线线垂直.【例3】(2012年高考大纲全国卷)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=22,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(1)证明:PC⊥平面BED;(2)设二面角APBC为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.(1)证明:因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,所以PC⊥BD.设AC∩BD=F,连结EF.因为AC=22,PA=2,PE=2EC,故PC=23,EC=332,FC=2,从而FCPC=6,ECAC=6.因为FCPC=ECAC,∠FCE=∠PCA,所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,由此知PC⊥EF.因为PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC⊥平面BED.(2)解:在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足.因为二面角APBC为90°,所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD为正方形,AD=2,PD=22ADPA=22.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC,且AD平面PBC,BC⊂平面PBC,故AD∥平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=2.设PD与平面PBC所成的角为α,则sinα=PDd=21.所以PD与平面PBC所成的角为30°.热点训练3如图所示,在四棱锥SABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面SAD⊥平面ABCD,E是线段AD上一点,AE=ED=3,SE⊥AD.(1)证明:平面SBE⊥平面SEC;(2)若SE=1,求三棱锥ESBC的高.(1)证明:∵平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,SE⊂平面SAD,SE⊥AD,∴SE⊥平面ABCD.∵BE⊂平面ABCD,∴SE⊥BE.∵AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,AE=ED=3,∴∠AEB=30°,∠CED=60°.∴∠BEC=90°,即BE⊥CE.又SE∩CE=E,∴BE⊥平面SEC,∵BE⊂平面SBE,∴平面SBE⊥平面SEC.(2)解:如图所示,过点E作EF⊥BC于点F,连结SF.由(1)知SE⊥平面ABCD,而BC⊂平面ABCD,∴BC⊥SE,又SE∩EF=E,∴BC⊥平面SEF,∵BC⊂平面SBC,∴平面SEF⊥平面SBC.过点E作EG⊥SF于点G,则EG⊥平面SBC,即线段EG的长即为三棱锥ESBC的高.由(1)易知,BE=2,CE=23,则BC=4,EF=3.在Rt△SEF中,SE=1,SF=22EFSE=2,则EG=SFEFES=23,∴三棱锥ESBC的高为23.数形结合、转化与化归思想在立体几何中的应用【典例】(2012年高考福建
本文标题:高考数学复习 第2讲 空间图形的位置关系与空间角课件
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