11.1(1)直线方程(点方向式方程)

11．1（1）直线方程（点方向式方程）一、教学内容分析本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程．用向量方法推导直线方程是二期课改的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向.利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.二、教学目标设计理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.三、教学重点及难点直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.四、教学过程设计（一）新课引入初中我们学习过的直线是一次函数的图像。求直线方程的方法是利用一次函数y=kx+b来解决:“已知一次函数经过点(-4,0)与(0,3),求此一次函数的解析式（即为直线方程）”我们现在开始所学习的内容是解析几何，其的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算.（二）讲授新课1、直线方程的概念定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程(,)0fxy，满足（1）直线l上的点的坐标(,)xy都满足方程(,)0fxy；（2）以方程(,)0fxy的解(,)xy为坐标的点都在直线l上.那么我们把方程(,)0fxy叫做直线l的方程.从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l上的点的集合与方程(,)0fxy的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、平面内直线确定的条件分析a.平面上过两点A、B的直线有且仅有一条(两点确定一条直线)b.平面上过一点且给定直线的方向,这条直线唯一(一点、一方向确定一条直线)直线的方向可以设定“直线的平行方向”也可设定“直线的垂直方向”例题1.直线l的方程:3x-4y+3=0,确定l的方向，写出该直线的一个方向向量3.直线的方向向量与直线l平行的非零向量叫直线l的方向向量。设21,PP是直线l上两点，则向量21PP或与21PP平行的非零向量称为直线l的方向向量练习:1.写出下列直线方程的一个方向向量的坐标.(1)5x+4y-1=0(2)-2x+7y+11=0(3)6x+8y-3=0(4)-3x-4y+7=0(5)y-1=0(6)-2x+11=0反思:给定直线方程如何确定直线的方向向量?的方向向量不唯一直线l4.直线的点方向式方程“直线的方向向量”的定义：与直线l平行的向量叫做直线l的一个方向向量；它的坐标(u,v)就是直线l的一个方向向量的坐标.问题探究：已知直线l经过点00,yxP,且与l平行的一个向量vud,,求这条直线l的点方向式方程.直线的点方向式方程：vyyuxx00（0,0vu）思考：它能够表示所有的直线吗？形式的特点？需要哪些量？如果忘记了，怎么办？例题2：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量.①4533yx;②6744yx;③1x;④2y.[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量.解①经过点5,3，它的一个方向向量是4,3d；②化简得到：4674yx，从中可见该直线经过点6,4，一个方向向量是4,7d；③经过点0,1，它的一个方向向量是1,0d；④经过点2,1，它的一个方向向量是1,0d．例题3：已知点1364，，，BA和54，C，求（1）经过点A且与BC平行的直线l的点方向式方程？（2）过点B且与AC平行的直线的点方向式方程；（3）过点C且与AB平行的直线的点方向式方程。解(1)：4,7BC，所以过点A且与BC平行的直线l的点方向式方程是4674yx．变式1求经过点B、C两点的直线l的点方向式方程.解：4,7BC，4173yx．思考：有没有别的表达方式？4574yx是否一样呢？不妨化简，得到的都是：01974yx变式2在ABC中，求平行于BC边的中位线MN所在直线的点方向方程.向量．的方向，求直线且上不同两点是直线，和，已知点)()()(21212211lyyxxlyxByxA)(1212yyxxd，方向向量解AB的中点为25,21M，AC的中点为21,4N，则2,27MN，所以MN所在直线的点方向方程是2252721yx．[说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！例题4：能否把直线方程0532yx化为点方向式方程？若能，它的点方向式方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量有什么联系？变式：直线0cbyax的方向向量可以表示为？1,2(41)(36)ABC例题5.已知（）、，、，为三角形三个顶点，(3)求经过点A且与BC垂直的直线l的方程（三）课堂小结1.直线方程的定义2.直线的点方向式方程的推导.3．用向量方法推导直线方程的主要思想4．确定直线方程的几个要素（四）随堂练习课本6页“练习11.1(1)”第1题；小结：直线与方程的关系，点在直线上，点的坐标就满足方程，即为方程的解。课本7页“练习11.1(1)”第2题；强调：直线的点方向式方程的形式课本7页“练习11.1(1)”第3题；小结：关键找直线的方向向量拓展：已知直线l垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为10个单位长度，求直线l的方程．（五）布置作业习题11.1A组1，2，3，4；B组1，21．若三点(2，－2)，(－1，4)，(x，0)共线，则x＝．2．过点(－2，4)，方向向量d＝(2，4)的点方向式方程为．3．写出直线3x＋2y＋6＝0的一个方向向量d=．4．求经过A(2，3)，B(4，6)两点的直线的点方向式方程。5．三角形ABC中，已知A(－1，2)，B(3，4)，C(－2，5)，M是BC边上的中点．求：（1）BC边所在的直线方程；（2）中线AM的长；（3）BC边上的高AH所在的直线方程．的方程；中线所在直线求)1(AC的方程．中位线所在直线求)2(BC