中考复习微专题----辅助圆问题及题例(三)

中考复习微专题----辅助圆问题及题例（三）模型4：四点共圆（如果同一个平面内的四个点在同一个圆上，称这四个点共圆.）【基本模型】：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；如图，AB为△ABC和△ABD的公共边，且点C,D在AB的同侧，∠C=∠D,则A,B,C,D四点共圆，圆心O为三角形任意一组邻边的垂直平分线的交点。【基本模型】：②圆内接四边形对角互补．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的外接圆为以AC为直径的⊙O；模型4：四点共圆（如果同一个平面内的四个点在同一个圆上，称这四个点共圆.）【基本模型】：③圆内接四边形对角互补；如图，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的外接圆为⊙O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点．应用思路：遇到四边形ABCD的动点问题，若满足这上述模型中的一个，即可考虑作它的外接圆解题．【问题呈现】：如图，⊙O的半径为6，弦AB＝10，P为弦AB上的一个动点，过点P作弦CD，弦CD、AB所夹的锐角为45°，则四边形ACBD面积的最大值为________．【问题解析】：因为四边形ACBD面积=𝑺△𝑨𝑩𝑫+𝑺△𝑨𝑪𝑩;过点C作CG⊥AB,过点D作DH⊥AB,则四边形ACBD面积=𝑺△𝑨𝑩𝑫+𝑺△𝑨𝑪𝑩=12∙𝑨𝑩∙𝑫𝑯+𝟏𝟐∙𝑨𝑩∙𝑪𝑮由题意，△DHB,△CPG都是等腰直角三角形。∴𝐃𝐇=𝑫𝑷∙𝐬𝐢𝐧𝟒𝟓°=𝟐𝟐∙𝑫𝑷,𝐂𝐆=𝑪𝑷∙𝐬𝐢𝐧𝟒𝟓°=𝟐𝟐∙𝑪𝑷=12∙𝑨𝑩∙(𝑫𝑯+𝑪𝑮)𝑫𝑯+𝑪𝑮=𝟐𝟐∙𝑫𝑷+𝟐𝟐∙𝑪𝑷=𝟐𝟐∙(𝑫𝑷+𝑪𝑷)=𝟐𝟐∙𝑪𝑫则四边形ACBD面积=12∙𝑨𝑩∙(𝑫𝑯+𝑪𝑮)=12∙𝑨𝑩∙𝟐𝟐∙𝑪𝑫=12×𝟏𝟎×∙𝟐𝟐𝑪𝑫∴当弦CD取最大值时，即CD=直径12时，四边形ACBD面积值最大，为𝟑𝟎𝟐𝟑𝟎𝟐【问题呈现】：如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AB上一动点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为________．连结DE,OE,OD.∵∠ACB=60°,∴∠DOE=120°.𝟗𝟐∴𝑫𝑬=𝟑𝑹在等边△ABC中，AB＝6.当CPAB时，PC值最小，为3𝟑即：𝑹=𝟑𝟑2∴要使DE取最小值，即⊙O的半径R最小，即⊙O的直径最小，也就是PC取最小值.M过点O作OM⊥DE,设⊙O的半径为R,则DM=EM=𝟑𝟐R∴𝑫𝑬=𝟑∙𝟑𝟑2=92【问题解析】：因为∠PEC=90°,∠PDC=90°.所以四边形PDCE对角互补，所以点P,D,C,E四点共圆;模型5：定弦对定角(非90°)【基本模型】：在圆中，固定的弦只要对应的圆周角固定角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧。【基本模型】：①如图，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；模型5：定弦对定角(非90°)【基本模型】：在圆中，固定的弦只要对应的圆周角固定角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧。【基本模型】：②如图，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O的弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；等于90°,则点C在半圆上运动;大于90°，则点C在劣弧上运动)；【问题呈现】:如图,已知线段AB.请在图中线段AB上方画出使∠APB＝60°的所有点P；【问题解析】：因为线段AB固定，线段AB所对的∠APB＝60°固定，所以点P在⊙O的优弧上运动，关键在于确定圆心O的位置；以AB为边作等边三角形ABC,作两邻边的中垂线,交点即为圆心O,以O为圆心，点O到点A或B的距离为半径作优弧，则优弧上的所有点即为求作点P(A,B除外).【问题呈现】：如图，已知线段AB.请在图中线段AB上方画出使∠APB＝45°的所有点P；【问题解析】：因为线段AB固定，线段AB所对的∠APB＝45固定，所以点P在⊙O的优弧上运动，关键在于确定圆心O的位置；以AB为底边作等腰直角三角形OAB,以O为圆心，点O到点A或B的距离为半径作优弧，则优弧上的所有点即为求作点P(A,B除外)OOO【问题呈现】：如图，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；；【问题解析】：因为线段AB固定，线段AB所对的∠APB＝30°；以AB为边作等边三角形OAB,以O为圆心，点O到点A或B的距离为半径作⊙O，则⊙O与四边形ABCD各边的交点即为求作点P。【问题呈现】：如图，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；；【问题解析】：因为线段BC固定，线段BC所对的∠BPC＝60°；以AB为边作等腰三角形OAB,使∠AOB=120°,以O为圆心，点O到点A或B的距离为半径作⊙O，则⊙O与四边形ABCD各边的交点即为求作点P。【问题呈现】：如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为________．【问题解析】:在菱形ABCD中，∠ABC＝60°,∴△ABC为等边三角形,AB=BC,∠ABC＝∠ACB＝60°;又由题意,BM=CN,∴△ABM≌△BCN.∴∠MAB＝∠NBC,所以点P在以AB为弦，所对的圆周角∠APB＝120°的⊙O的劣弧上运动，𝟒𝟑𝟑∴∠MPB＝∠MAB+∠ABN＝∠NBC+∠ABN＝60°;∴∠APB＝180°−∠BPM＝120°;设点O为该劣弧的圆心，连接OC交劣弧AB于点P,则此时PC最小。【问题呈现】:如图,以正方形ABCD的边BC向四边形内作等腰△BCE,BE＝BC,过点E作EH⊥BC于点H，点P是Rt△BEH的内心,连接AP，若AB＝2,则AP的最小值为________．【问题解析】:由题意，点E在以B为圆心，BC为半径的弧AC上运动;所以点P在以BC为弦，所对的圆周角∠CPB＝135°的⊙O的劣弧上运动，𝟏𝟎−𝟐∴连接CP,可得∠CPB＝135°设点O为该劣弧的圆心，连接OA交劣弧CB于点P,则此时PA最小。点P是Rt△BEH的内心,连接EP,BP,则∠EPB＝135°;【问题呈现】:.如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为________．【问题解析】:延长AC至点D，使CD=CB.则△ABC的周长=AB+AD,AB＝2.所以求△ABC周长的最大值，即求AD的最大值;所以点D在以AB为弦，所对的圆周角∠ADB＝60°的⊙O的弧上运动，𝟒𝟑𝟑+𝟐当AD经过点O为圆的直径时，此时AD取最大值。此时△ABC周长最大，值为𝟒𝟑𝟑+𝟐。连接DB,则可得∠ADB＝60°;【问题呈现】:如图,∠AOB＝45°,边OA、OB上分别有一个动点C、D,连接CD,以CD为直角边作等腰Rt△CDE,当CD=2时,则OE长的最大值为________．【问题解析】:由题意,∠AOB＝45°,CD=2,根据“定角定弦”模型可知，点C,D在以∠AOB(45°)为圆周角，弦CD(长为2)的⊙P上运动;此时点E在⊙P外，由点与圆的位置关系，当OE经过圆心P时，OE取得最大值。𝟏𝟎+𝟐∴由勾股定理,可得CP=𝑫𝑷=𝟐=𝑶𝑷此时∠PDE＝90°，由勾股定理,可得PE=𝟏𝟎点P是⊙P的圆心,连接CP,DP,则∠CPD＝90°;同理，由勾股定理,可得DE=𝟐𝟐OE长的最大值为𝟏𝟎+𝟐模型4：四点共圆（如果同一个平面内的四个点在同一个圆上，称这四个点共圆.）【基本模型】：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；如图，AB为△ABC和△ABD的公共边，且点C,D在AB的同侧，∠C=∠D,则A,B,C,D四点共圆，圆心O为三角形任意一组邻边的垂直平分线的交点。【基本模型】：②圆内接四边形对角互补．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的外接圆为以AC为直径的⊙O；模型4：四点共圆（如果同一个平面内的四个点在同一个圆上，称这四个点共圆.）【基本模型】：③圆内接四边形对角互补；如图，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的外接圆为⊙O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点．应用思路：遇到四边形ABCD的动点问题，若满足这上述模型中的一个，即可考虑作它的外接圆解题．模型5：定弦对定角(非90°)【基本模型】：在圆中，固定的弦只要对应的圆周角固定角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧。【基本模型】：①如图，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；模型5：定弦对定角(非90°)【基本模型】：在圆中，固定的弦只要对应的圆周角固定角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧。【基本模型】：②如图，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O的弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；等于90°,则点C在半圆上运动;大于90°，则点C在劣弧上运动)；本节课你的收获是什么？