27.2.3点与圆的关系(三)-----点圆最值问题2

第27章圆27.2.3----点和圆的位置关系（三）点圆最值问题2过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最小值即为线段P𝑨𝟏的长，最大值为线段P𝑨𝟐的长.“定点与圆上一动点距离的最值”问题：如图，点P为平面上一定点（圆外或圆内），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟏𝑨𝟐一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.点圆最值问题（1）一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.这个规律是和圆有关的求线段最值的经典模型，模型运用时要注意：定点可以在圆内，也可以在圆外，动点在圆（或弧）上运动，所求的是定点与圆（或弧）上一动点距离最小值和最大值问题.(2)实际问题中，动点所在的圆并不直接给出，需要学生自己去构造，所以在分析动点位置变化时，要抓住图形中的不变量，如若发现动点到某定点的距离等于定长或者动点对定线段所成的张角是定角时，则要意识到此动点的运动轨迹是圆（或圆弧），这会对求最值起到决定性的作用.方法归纳：已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直线l不经过点C，AB的最小值为．【解析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，要使AB最小，则满足OP最小即可．点圆最值问题连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．4如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，求A'C长度的最小值．解：由题意可得，点A′的轨迹在以AB中点M为圆心,以AB为直径的⊙M上,所以，连结MC,交⊙O于点A′。点圆最值问题在Rt△CEM中,由勾股定理得：CM=𝑪𝑬𝟐+𝑬𝑴𝟐=𝟓𝟐+𝟑𝟐=𝟐𝟕∵在菱形ABCD中，AD=DC=𝟒,A′则此时，线段A′C即为最小值,∴CA′=CM−𝑴𝑨′=𝟐𝟕−𝟐∴⊙M的半径MD=MA=MA′=2,┛E过点M作ME⊥CD与CD的延长线交于点E,∵∠A=∠MDE=60°,∴∠DME=30°,𝑫𝑬=𝟏𝟐𝑫𝑴=𝟏∴𝑬𝑴=𝟑如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，求线段DH长度的最小值．解：在正方形ABCD中，AE=DF，∴△𝑨𝑩𝑬≅△𝑫𝑪𝑭。点圆最值问题在Rt△ADO中,由勾股定理得：DO=𝑨𝑶𝟐+𝑨𝑫𝟐=𝟏𝟐+𝟐𝟐=𝟓H则此时，线段DH即为最小值,∴DH=DO−𝑶𝑯=𝟓−𝟏∴⊙M的半径OA=OB=OH=1,∴∠ABE=∠DCFO∴点H的轨迹在以AB中点O为圆心,以AB为直径的⊙O上,连结DO,交⊙O于点H。又∵连接CF交BD于点G∴∠DAG=∠DCF∴∠ABE=∠DAG又∵∠ABE+∠AEB=90°∴∠DAG+∠AEB=90°∴∠AHE=∠AHB=90°如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_______。点圆最值问题【解析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH。𝟔𝟓如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．点圆最值问题【解析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C′，化PC+PF为PC′+PF，当C′、P、F、O共线时，取到最小值．𝟐𝟏𝟑−𝟐如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是____．点圆最值问题【解析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D'，连接PD'，PF+PD化为PF+PD'．连接ED'，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED',再减去EF即可．𝟖如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．点圆最值问题【解析】先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．𝟏𝟎−𝟐过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最小值即为线段P𝑨𝟏的长，最大值为线段P𝑨𝟐的长.“定点与圆上一动点距离的最值”问题：如图，点P为平面上一定点（圆外或圆内），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟏𝑨𝟐一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.点圆最值问题（1）一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.这个规律是和圆有关的求线段最值的经典模型，模型运用时要注意：定点可以在圆内，也可以在圆外，动点在圆（或弧）上运动，所求的是定点与圆（或弧）上一动点距离最小值和最大值问题.(2)实际问题中，动点所在的圆并不直接给出，需要学生自己去构造，所以在分析动点位置变化时，要抓住图形中的不变量，如若发现动点到某定点的距离等于定长或者动点对定线段所成的张角是定角时，则要意识到此动点的运动轨迹是圆（或圆弧），这会对求最值起到决定性的作用.方法归纳：本节课你的收获是什么？