二阶对称张量的示性面

二阶对称张量的示性曲面二阶对称张量与二次曲面1(,1,2,3)ijijSxxij==二阶曲面ikikjljlxaxxax′=′=1ijkiljklSaaxx′′=klijkiljSSaa′=klkiljijSaaS′=二阶对称张量与二次曲面ijikjlklTTαα′=正变换klkiljijSaaS′=正变换具有完全相同的变换关系想要知道二阶张量如何变换的只要知道二阶曲面如何变换就可以了－－称二阶曲面为二阶张量的示性面„二次曲面的主轴化－主轴为坐标轴„如何实现？二阶对称张量与二次曲面2221122331SxSxSx++=111213212223313233SSSSSSSSS⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠123000000SSS⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠久期方程法-利用matlabmathcad非常方便二阶对称张量与二次曲面2221122331SxSxSx++=2223122221xxxabc++=比较,,abc表示什么？结论：二阶示性面上任意矢径长度等于表征该方向物理性质数值S的平方根的倒数„光频介电系数张量二阶对称张量与二次曲面ijεijijDEε=各向异性晶体中二阶对称张量1(,1,2,3)ijijxxijε==示性面方程主轴化后的示性面方程2221122331xxxεεε++=nε=回忆我们推导的示性曲面矢径与物理量的关系－倒数二阶对称张量与二次曲面ijijEDβ=各向异性晶体中1(,1,2,3)ijijxxijβ==示性面方程主轴化后的示性面方程2221122331xxxβββ++=1nβ=逆介电张量介电不渗透张量光率体2223122221231xxxnnn++=2221122331xxxβββ++=这是一个二次曲面，上面矢径的长度为开方的倒数即为折射率βn称二次曲面包围的椭球为光率体光率体•称二次曲面包围的椭球为光率体•椭球面上矢径的长度即为折射率•沿晶体不同方向传输具有不同的折射率•我们可以获得相互垂直两个偏振态在晶体某个波矢方向的折射率。KDES⊥⊥光率体KG6三斜4单斜3正交双轴晶体2四方三方六方单轴晶体1立方各向同性000000εεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠113000000εεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠123000000εεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠152530000εεεεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠165624543εεεεεεεεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠光率体„可以由上表看出不同晶系光率体的性质„独立主轴参数„主轴方向与晶体晶轴之间的关系光率体1立方各向同性000000εεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠22231222222221231oxxxnnnxxxn++=++=2四方三方六方单轴晶体113000000εεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠22231222132223122211oexxxnnxxxnn++=++=光率体光率体6三斜4单斜3正交双轴晶体123000000εεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠152530000εεεεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠165624543εεεεεεεεε⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠情况比较复杂！光率体全不一致6三斜有一个主轴与晶轴一致4单斜主轴与晶轴一致3正交双轴晶体折射率曲面„为什么研究折射率曲面„研究方便„形象直观„如何获得折射率曲面„取任意过晶体中心的直线方向为光线传输方向„利用该方向矢量定义该方向过晶体中心的垂直截面，求出它与光率体外表面的交线（椭圆）„求该椭圆的长轴和短轴„由于取得方向任意获得的即为椭圆长短轴曲面－即两互相垂直偏振态的折射率曲面折射率曲面6三斜4单斜双层曲面＝双轴椭球面＋双轴椭球面3正交双轴晶体双层曲面＝球面＋单轴椭球面2四方三方六方单轴晶体球面单层1立方各向同性折射率曲面立方晶系折射率曲面单轴晶系负单轴正单轴折射率曲面双轴晶系•情况更复杂•双层二次曲面