北师大版数学九年级下册知识点总结及例题-不错-

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章直角三角形的边角关系1．正切：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．．，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan;①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，常省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。例在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化2.正弦．．：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin;例在ABC中，若90C，1sin2A，2AB，则ABC的周长为3.余弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos;例等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（）A．4B．23C．2D．224.一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。例△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有2|tan3|2sin30BA（），则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等腰直角三角形C．等腰（不等边）三角形D．等边三角形5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。7.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：,tan,cos,sinbaAcbAcaA,tan,cos,sinabBcaBcbB30º45º60ºsinα212223cosα232221tanα3313(4)面积公式:chcab2121S(hc为C边上的高);例在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（）A．sinacBB．cosabBC．tancaBD．tanabA8.解直角三角形的几种基本类型列表如下：例ABC中，∠C=90°，AC=52，∠A的角平分线交BC于D，且AD=1534，则Atan的值为A、1558B、3C、33D、31例已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADB=090，AB=5，AD=3，BC=32，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD.图3图49.如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．．(或叫做坡比．．)。用字母i表示，即Alhitan例一人乘雪橇沿坡度为1:3的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S＝2210tt,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为A、72米B、36米C、336米D、318米10.从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。11.正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。图2hi=h:llABC第二章二次函数1.二次函数的概念：形如)0,,(2acbacbxaxy是常数，的函数，叫做x的二次函数．．．．。（1）自变量的取值范围是全体实数。（2）)0(2aaxy是二次函数的特例，此时常数b=c=0.（3）在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。2.二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线．．．。[描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。]①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。④函数的增减性：A、当a＞0时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当a＜0时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．3.二次函数caxy2的图象是一条顶点在y轴上且关于y轴对称的抛物线二次函数caxy2的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。4.二次函数cbxaxy2的图象是以abx2为对称轴，顶点在（ab2，abac442）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）5.二次函数cbxaxy2的图象与y＝ax2的图象的关系：cbxaxy2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：①将cbxaxy2配方成khxay2)(的形式；（其中h=ab2，k=abac442）；②把抛物线2axy向右（h0）或向左（h0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；③再把抛物线2)(hxay向上（k0）或向下（k0）平移|k|个单位，便得到khxay2)(的图象。例将二次函数配方成的形式，则y=_______.例把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）A.，B.，C.，D.，6.二次函数cbxaxy2的性质：二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则：①对称轴：x=ab2②顶点坐标：（ab2，abac442）③增减性：若a0，则当xab2时，y随x的增大而减小．．．．．；当xab2时，y随x的增大而增大。．．．．．．若a0，则当xab2时，y随x的增大而增大．．．．．；当xab2时，y随x的增大而减小。．．．．．．④最值：若a0，则当x=ab2时，abacy442最小；若a0，则当x=ab2时，abacy442最大例抛物线的对称轴是直线（）A.B.C.D.例二次函数的最小值是（）A.B.2C.D.1例二次函数的图象如图所示，若，，则（）A.，，B.，，C.，，D.，，例二次函数的图象如右图，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（）例下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）7.画二次函数cbxaxy2的图象：（五点法）①先找出顶点（ab2，abac442），画出对称轴x=ab2；②找出图象上关于直线x=ab2对称的四个点（如与坐标的交点等）；③把上述五点连成光滑的曲线。8.二次函数cbxaxy2的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：acb420===抛物线与x轴有2个交点；acb42=0===抛物线与x轴有1个交点；acb420===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；例已知二次函数，且，，则一定有（）A.B.C.D.≤0例已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是______________________.例已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.第三章圆1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；线段OA叫做半径．．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆．心．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.例若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的位置为（）A、在⊙A内B、在⊙A上C、在⊙A外D、不能确定例若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（）A．2baB．2baC．22baba或D．baba或3.圆的对称性:（1）与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。直径：经过圆心的弦叫做直径．．。②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。（4）定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.例两个同心圆的半径分别为3cm和4cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=__cm.例已知⊙O的半径为2cm,弦AB长为32cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为()A1B2C3D4例如图为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=cm.4.圆周角和圆心角的关系:（1）弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.（2）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的.（3）圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.（4）圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；例下面四个命题中,正确的一个是()A平分一条弦的直径必垂直于这条弦B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C圆心角相等,圆心角所对的弧相等D在一个圆中,平分一条弧和它所对弦的直线必经过这个圆的圆心例如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OB