求数列的通项公式方法总结

数列常见题型总结-1-题型四：求数列的通项公式一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：na和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法：一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，且)()2()1(nfff的和比较好求，我们可以采用此方法来求na。即：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n；【例1】已知数列na满足11211,2nnaaann，求数列na的通项公式。解：（1）由题知：121111(1)1nnaannnnnn112211()())nnnnnaaaaa+(a-aa……1111111()()()121122nnnn……312n2、叠乘法：一般地对于形如“已知a1，且n1naa=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n；【例2】在数列｛na｝中，1a=1,(n+1)·1na=n·na，求na的表达式。解：由(n+1)·1na=n·na得11nnaann，1aan=12aa·23aa·34aa…1nnaa=nnn11433221所以nan13、构造法：当数列前一项和后一项即na和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法：①、一般地对于an=kan-1+m(k、m为常数）型，可化为的形式an+λ=k(an-1+λ).重新数列常见题型总结-2-构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求na。【例3】设b0,数列na满足a1=b，11(2)22nnnnbaanan.求数列na的通项公式；解：112(1)nnnabanan，得1112(1)121nnnnannnababba，设nnnba，则121nnbbbb(2)n，（ⅰ）当2b时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，∴2na（ⅱ）当2b时，设12()nnbbb，则122(1)nnbbbb，令21(1)bb，得12b，1121()22nnbbbbb(2)n，知12nbb是等比数列，11112()()22nnbbbbb，又11bb，12112()222nnnnnbbbbbbb，(2)2nnnnnbbab．②、对于1()(nnapafn其中p为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为CBnAaann1型，可化为])1([21211naAnann的形式来求通项。【例4】设数列na中，111,321nnaaan，求na的通项公式。解：设1(1)3()nnaAnBaAnB1322nnaaAnBA与原式比较系数得：221211AABAB即1(1)13(1)nnanan令1,nnbann+1n11则b=3b且b=a+1+1=3nb1是b=3为首项，公比q=3的等比数列133331nnnnnban即:数列常见题型总结-3-ii、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为BAaann1nC（A、B、C为常数，）型，可化为11nnCa=nnCaA(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求na当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn+1,重新构造数列，来求na。【例5】设0a为常数，且1123nnnaa（*Nn），证明：对任意n≥1，02)1(]2)1(3[51aannnnn解：证明：设)3(2311nnnntata用1123nnnaa代入可得51t∴53nna是公比为2，首项为531a的等比数列，∴10)2()5321(53nnnaa（*Nn），即：012)1(52)1(3aannnnnn（2）、倒数法：一般地形如11nnnaakab、nnnnaaaa11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。【例6】.已知数列na满足：1111,31nnnaaaa，求na的通项公式。解：原式两边取倒数得：11113113nnnnaaaa1,1nannn-11设b=则b-b=3,且b=13nb1是b=为首项，公差d=2的等差数列1(1)332bnnn即132nan（3）、对数法：当数列na和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：anp=man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。数列常见题型总结-4-【例7】若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），则它的通项公式是na=▁▁▁解由题意知na＞0，将21nnaa两边取对数得nnaalg2lg1，即2lglg1nnaa，所以数列}{lgna是以1lga=3lg为首项，公比为2的等比数列，12113lg2lglgnnnaa，即123nna.（4）、特征方程法①、一般地对于形如已知1122,,amaman+2=Aan+1+Ban(A、B是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：12nnnacpcq，其中c1与c2由已知1122,,amam确定。（ii）当方程有唯一的实根p时，有12()nnacncp，其中c1与c2由已知1122,,amam确定。法二：可构造成)(112112nnnnaxaxaxa，则{11nnaxa}为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。【例8】已知a1=2，a2=3，nnnaaa122，求通项公式。解法一：特征方程的根为1，所以an=(c1n+c2)×1n由：1212223cccc得c1=c2=1，所以an=n+1。解法二：设)(112112nnnnaxaxaxa，可得x1=x2=1，于是{an+1－an}是公比为1的等比数列，an+1－an=1，所以an=n+1。②、一般地形如：1nnnaabacad（a、b、c、d为常数）可得到相应的特征方程：axbxcxd，再将其变为2()0cxdaxb，通过该方程的根的情况来重新构造数列。（i）如果方程2()0cxdaxb有两个相异的实根，则有数列nnapaq是以11apaq为首项，acpacq为公比的等比数列；（ii）如果方程2()0cxdaxb有两个相同的实根，则数列1nap是以11ap为首数列常见题型总结-5-项，2cad为公差的等差数列。【例9】已知数列{}na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列{}na的通项na．解：其特征方程为221xxx，化简得2220x，解得121,1xx，令111111nnnnaacaa由12,a得245a，可得13c，数列11nnaa是以111113aa为首项，以13为公比的等比数列，1111133nnnaa，3(1)3(1)nnnnna．三、当题中给出的是Sn和na的关系时，我们一般通过作差法结合an=Sn－Sn－1这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到na和an+1的递推关系，或消掉na得到Sn和Sn－1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。【例10】已知数列na的前n项和为nS，且满足：1aa(0)a，1nnarS(nN*，,1)rRr．求数列na的通项公式；解：（I）由已知1,nnarS可得21nnarS，两式相减可得2111(),nnnnnaarSSra即21(1),nnara又21,arara所以r=0时，数列{}na为：a，0，…，0，…；当0,1rr时，由已知0,0naa所以（*nN），于是由21(1),nnara可得211()nnarnNa，23,,,naaa成等比数列，当n2时，2(1).nnarra综上，数列{}na的通项公式为21,(1),2nnnanarran数列常见题型总结-6-【例11】已知各项均为正数的数列{na}的前n项和满足1nS，且*),2)(1(6NnaaSnnn求{na}的通项公式；解：由)2)(1(611111aaSa，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。又由an+1＝Sn+1-Sn＝)2)(1(61)2)(1(6111nnnnaaaa，得an+1-an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。因此an+1-an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。