8.二次型与二次曲面

哈尔滨工业大学数学系第八章二次型与二次曲面8.4空间中的曲面和曲线F(x,y,z)=0两个基本问题:(1).给出图形,建立方程;(2).已知坐标满足的方程,研究其表示的曲面图形.1.球面已知球心M0(x0,y0,z0),半径r,求球面S方程.M(x,y,z)S|M0M|=r,即(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2展开:x2+y2+z2-2x0x-2y0y-2z0z+x02+y02+z02-r2=0图形方程球面方程特点:(i)三元二次方程;(ii)二次项x2、y2、z2系数相同;(iii)无混合二次项xy、yz、zx.反过来,具备这三个条件的方程,其图形是球面:A(x2+y2+z2)+Bx+Cy+Dz+F=0(配方法)(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=kk0球面方程k=0点球面k0虚球面2.旋转曲面:平面曲线C(母线)绕同平面定直线L(准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.曲线C00),(xzyfCyzo绕z轴旋转一周得旋转曲面SxCyzo.00),(xzyf曲线C绕z轴旋转一周得旋转曲面S2.旋转曲面:平面曲线C(母线)绕同平面定直线L(准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.曲线C00),(xzyf绕z轴旋转一周得旋转曲面SCSM(x,y,z)N),,0(11zyzz1Pyzo221yxyf(y1,z1)=0.xM(x,y,z)S0),(22zyxfS：2.旋转曲面:平面曲线C(母线)绕同平面定直线L(准线)旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.旋转曲面特点:母线C00),(xzyf0),(22zyxfS：C中轴坐标(z)不变,另一坐标(y)变为除轴坐标外两坐标的正负算术平方根.旋转曲面名称:与母线名称对应.012222zbyax绕x轴122222bzyax绕y轴122222byazx(1)---旋转椭球面反过来,方程中若有两个变量以平方和形式出现,这个方程的图形一般是旋转曲面.(2-1)双叶旋转双曲面x012222zbyax双曲线0y绕x轴一周xzbyax双曲线0zy.绕x轴一周(2-1)双叶旋转双曲面x0zy得双叶旋转双曲面122222bzyax.zbyax双曲线.绕x轴一周(2-1)双叶旋转双曲面(2-2)旋转单叶双曲面a双曲线绕y轴一周012222zbyaxxyo(2-2)旋转单叶双曲面az.绕y轴一周012222zbyaxxyo双曲线(2-2)旋转单叶双曲面a.z得单叶旋转双曲面122222byazx..双曲线绕y轴一周012222zbyaxxyo(3)旋转抛物面yoxpzy022抛物线绕z轴一周zyoxxpzy022.抛物线绕z轴一周z(3)旋转抛物面ypzyx222.oxz生活中见过这个曲面吗？.xpzy022抛物线绕z轴一周得旋转抛物面(3)旋转抛物面绕y轴旋转一周又如何?卫星接收装置.(4)圆锥面=zkxy0直线绕x轴一周xyo.直线绕x轴一周xyoz(4)圆锥面=zkxy0xyoz.直线绕x轴一周得旋转锥面2222xkzy.(4)圆锥面=zkxy03.柱面:沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线L(母线)扫过的曲面叫做柱面.xzy0母线f(x,y)=0z=0准线M(x,y,z)N(x,y,0)Sf(x,y)=0M(x,y,z)S(母线∥z轴)柱面特点:柱面名称:与母线名称对应.含有两个变量的方程在空间表示柱面.S:f(x,y)=0f(x,y)=0z=0C:12222byax(1).椭圆柱面zxyo当a=b时,为圆柱面:222ayx(z为母线)(2).双曲柱面zxy12222bzaxo(3).抛物柱面pxy22zxyo球面、旋转曲面、柱面A(x2+y2+z2)+Bx+Cy+Dz+F=0x2a2y2b2z2b2++=1x2a2y2a2z2b2+-=1x2a2y2b2z2b2--=1x2+y2=2pzx2+y2=k2z2x2a2y2b2+=1x2a2y2b2-=1y2=2px二.空间曲线:•一般式方程:F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0•参数式方程:x=x(t)y=y(t)z=z(t)tT如:x2+y2=1x+y+z=31.方程:P同时,又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。圆柱面222ayxyz0xax=y=z=acostbtM(x,y,z)asinttM螺线从点PQ当t从02，bPQ2叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进行，所以z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；螺旋线2.空间曲线C在平面π上的投影:以空间曲线C为准线,母线垂直于π的柱面与π的交线.F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在xOy面上的投影:(1).求F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(消去z)f(x,y)=0(柱面)f(x,y)=0z=0(2).x=x(t)y=y(t)z=z(t)在xOy面上的投影为x=x(t)y=y(t)z=0例1:x2+y2+z2=1x2+y2-x=0求曲线C:在xOy,zOx坐标面上的投影.(z≥0),x2+y2+z2=1x2+y2-x=0解:往zOx面上投影:(消去y)x2+y2-x=0在xOy面上的投影为x2+y2+z2=1x2+y2-x=0z2+x=1z=0y=0。平面的投影在的交线及求曲面22222xoyLyxzyxz22222yxzyxz1.1122zyx解yxzo得交线L：由图例z=0.211122zyxyxzo解122yxL所求投影曲线为122yx0122zyx...得交线L：.投影柱面22222yxzyxz由。平面的投影在的交线及求曲面22222xoyLyxzyxz图例例2:x=y=z=acostbtasint求螺旋线C:在坐标面上的投影.往xOy面上投影:解:x=y=z=acost0asint往yOz面上投影:y=z=x=asintbt0往zOx面上投影:x=z=y=acostbt08.5二次曲面一.二次方程的化简和分类Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fzx+Gx+Hy+Lz+M=01.化简:(1).用正交变换去掉混合二次项,得λ1x12+λ2y12+λ3z12+G1x1+H1y1+L1z1+M1=0(2).用平移变换(配方法)尽量去掉一次项.例3:f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z-2=0.判断下面二次曲面为何种二次曲面解:6020-20206A=,λ=8,4,-2,-P=(P1,P2,P3)=√22√220√22√22,0001(1).即:x=x1+y1√22√22z=x1-y1√22√22y=z1取xyzx1y1z1=P,f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z-2=0.取:x=x1+y1√22√22z=x1-y1√22√22y=z18x12+4y12-2z12+8√2y1-4z1-2=0(2).(配方)8x12+4(y1+√2)2-2(z1+1)2=8取平移变换x2y2z2x1y1+√2z1+1=,8x22+4y22-2z22=8即x22+-=1y222z224单叶双曲面.2.简化后的三元二次方程分类(一)、λ1、λ2、λ3全不为零λ1x2+λ2y2+λ3z2=d椭球面a=b？a=b=c？单叶双曲面a=b？双叶双曲面b=c？x2a2y2b2z2c2--=13ox2a2y2b2z2c2++=11ox2a2y2b2z2c2+-=12o二次锥面a=b？x2a2y2b2z2c2+-=04o(二)、λ1、λ2不为零,λ3=0λ1x2+λ2y2=cz+d椭圆抛物面p=q？x22py22q+=z(p、q同号)5o双曲抛物面x22py22q-=z(p、q同号)6o(马鞍面)x2a2y2b2+=17ox2a2y2b2-=18o(三)、λ1不为零,λ2=λ3=0λ1x2=by+cz+d(b、c不全为零)y2=2px9o柱面椭球面单叶双曲面双叶双曲面x2a2y2b2z2c2--=13ox2a2y2b2z2c2++=11ox2a2y2b2z2c2+-=12o二次锥面x2a2y2b2z2c2+-=04o椭圆抛物面x22py22q+=z(p、q同号)5o双曲抛物面x22py22q-=z(p、q同号)6ox2a2y2b2+=17ox2a2y2b2-=18oy2=2px9o椭圆柱面双曲柱面抛物柱面马鞍二.描图在平面直角坐标系中,对二元方程f(x,y)=0,用“描点法”--用平行于坐标轴的线去截曲线f(x,y)=0,根据截点的取值和变化规律推断曲线的形状;在空间直角坐标系中,对三元方程F(x,y,z)=0,用“截痕法”--用平行于坐标面的平面截割所研究的曲面F(x,y,z)=0,根据截痕(线)的形状和变化规律推断曲面的形状.用z=h截曲面:abcyxzox2a2y2b2z2c2++=1特点:关于坐标面对称;1.椭球面:|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c;x2a2y2b2h2c2+-=1z=h2.单叶双曲面x2a2y2b2z2c2+-=1•用z=h截曲面—椭圆•用y=h截曲面x2a2z2c2h2b2--=1y=h|h|b:双曲线-实轴∥x轴|h|=b:-两相交直线|h|b:双曲线-实轴∥z轴•用x=h截曲面3.双叶双曲面x2a2y2b2z2c2--=14.二次锥面x2a2y2b2z2c2+-=05.椭圆抛物面x22py22q+=z(p、q同号)6.双曲抛物面x22py22q-=z(p、q同号)•用z=h截曲面hp0:双曲线-实轴∥x轴h=0:-两相交直线hp0:双曲线-实轴∥y轴z=hx22py22q-=h•用y=h截曲面—抛物线•用x=h截曲面—抛物线(马鞍面)用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0.xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面.xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面练习:判断下列方程代表的几何图形.①x2+y2+z2+2x+4y=0②√x2+y2=z(z≥0)③x2+4y2-z2=0④x=(y+1)2+z24⑤x2+4y2-z2+4=0⑥x2+4y2-z2-4=0⑦z=xy⑧z2-3x+4y=0球面圆锥面二次锥面椭圆抛物面双叶双曲面单叶双曲面马鞍面抛物柱面二次曲面空间曲面空间曲线9种螺旋线投影曲线