现代控制理论第六章最优控制【精选】

第六章最优控制2021年1月17日本章内容6.1概述6.2研究最优控制的前提条件6.3静态最优化问题的解6.4泛函及其极值――变分法6.5用变分法求解连续系统的最优控制问题6.6极小值原理6.7线性二次型最优控制问题6.1概述甲仓1500包乙仓1800包1元工地B600包工地C1200包2元4元4元5元9元如何发送水泥最省运费?工地A900包65432195442)(xxxxxxfx假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3;从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6总运费为:x的约束条件1500321xxx1800654xxx90041xx60052xx120063xx目标函数约束条件最优化问题最优化问题的数学描述)()(minxxfJmigi,,2,10)(xljhj,,2,10)(x目标函数等式约束条件不等式约束条件静态最优化问题最优化问题的数学描述fttttttLJ0d]),(),([)(minuxx]),(),([)(ttttuxfx目标函数约束条件－－受控对象的状态方程动态最优化问题6.2最优控制的前提条件1.状态方程]),(),([)(ttttuxfx2.控制作用域控制集0),(|)(uxujtU容许控制Ut)(u3.初始条件初始集0)]([|)(000ttjxx可变始端00)(tx4.终端条件目标集0)]([|)(fjffttxx可变终端fft)(x5.目标泛函－－性能指标fttfttttLtJ0d]),(),([)]([)(uxxx综合型、鲍尔扎型fttttttLJ0d]),(),([)(uxx积分型、拉格朗日型)]([)(ftJxx终端型、梅耶型)(minxJ满足的控制，称为最优控制；)(*tu在最优控制下，状态方程的解，称为最优轨线)(*tx使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标*J线性二次型性能指标fttfftttttttJ0]d)()()()([21)()(21)(2T1T0TuQuxQxxQxx6.3静态最优化问题的解静态最优化问题动态最优化问题目标函数多元普通函数泛函数解法古典微分法古典变分法6.3.1一元函数的极值设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函数，则存在极值u*点的必要条件是：0|)(*uuufu*极小值点的充要条件是0|)(,0|)(**uuuuufufu*极大值点的充要条件是0|)(,0|)(**uuuuufuf6.3.2多元函数的极值设n元函数f=f(u),u=[u1,u2,…,un]，存在极值点的必要条件是：0)(uuf或者函数的梯度为零矢量0T21nufufuffu取极小值点的充要条件是0)(22uuf222212222221221221221222)(nnnnnufuufuufuufufuufuufuufuffuu海赛矩阵例6-1求函数f(x)的极值点及极小值。362252)(21332232221xxxxxxxxfx解：根据极值必要条件，得：0xf024311xxxf06210322xxxf02221233xxxxf解得：2,1,1321xxxT*2,1,1x2222100204)(22xxf海赛矩阵：正定，x*为极小值点6.3.3具有等式约束条件的极值)()(minxxfJmigi,,2,10)(x目标函数等式约束条件解法（1）嵌入法（2）拉个朗日乘子法拉个朗日乘子法),(minuxfJmigi,,2,10),(ux等式约束条件核心思想：构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数，作为新得目标函数，同时消去等式约束。拉格朗日函数构造：),(),(TuxgλuxfHHmin将拉格朗日函数最为优化目标函数：则目标函数存在最优解的条件是：0,0,0λuxHHH目标函数),(),(TuxgλuxfH0TλxxxgfH0TλuuugfH0),(uxg则目标函数存在最优解的条件是：),(0),(TuxλuxffH例6-2求使uQuxQxux2T1T2121),(fJ取极值的x*和u*，并满足约束条件0),(dFuxuxg其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。解：构造拉格朗日函数：),(),(TuxgλuxfHdFuxλuQuxQxT2T1T2121则目标函数存在最优解的条件是：01λxQxH0T2λFxQuH0dFuxλH解得极值点为：dQFFQFQu1T11T2*)(dQFFQFQFIx])([1T11T2*dQFFQFQFQQλ])([1T11T211*由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。6.4泛函及其极值――变分法1.什么是泛函?泛函就是函数的函数函数：对于x定义域中的每一个x值，y又有一个（或者一组）确定的值与之对应，则称y是x的函数，记做y(x)。泛函：对应于某一类函数中的每一个确定的函数y(x)，因变量J都有一个确定的值（注意、不是函数）与之对应，则称因变量J为宗量函数y(x)的泛函数，简称泛函，记做J=J[y(x)]1x2x3x2y3y1yxy3J2J1JxJy)(2xfy)(1xfy)(3xfy求弧长的泛函xy0A(xa,ya)B(xb,yb)xyl)(xy22)d()(ddyxl22)(1)dd(1ddyxyxlxylbaxxd)(12xyLxyxyJbabaxxxxd)(d)(1)]([22)(1)(yyL一般的L也是x，y的函数，xxyyLJbaxxd),,(2．泛函的极值求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法称为变分法。如果泛函在任何一条与y0(x)接近的曲线上所取的值不小于J[y0(x)]，即，则称泛函在曲线上达到了极小值。反之，达到了极大值。)]([xyJ0)]([)]([0xyJxyJJ)]([xyJ)(0xy微分变分xy0xyyd0x)(xfxy0)(xy)()(xyxy变量的微分dx函数的变分)()()(0xyxyxy函数的增量Rxxfy)(0泛函的增量)]([)]()([xyJxyxyJJ)](),([)](),([xyxyRxyxyL函数的级数微分dxxfxdy)()(0泛函的变分就是泛函增量的线性主部。)](),([xyxyLJ泛函的变分的另一定义)](),([)]()([0xyxyLxyxyJJ)]([)]()([xyJxyaxyJJ)](),([)](),([xyaxyRxyaxyL)](),([xyaxyL)(xya为关于的线性泛函)](),([)](),([xyxyaLxyaxyL)](),([xyaxyR是关于的髙阶无穷小量，)(xya0)()()](),([lim)](),([lim00xyxyaxyaxyRaxyaxyRaaaJxyxya00lim)](),([axyJxyaxyJa)]([)](),([lim0)]}(),([{1lim)](),([1lim00xyxyaLaxyaxyLaaa)](),([xyxyL例6-3求下列泛函的变分fttdttxJ0)(2解：方法一ffttttdttxdttxtxJ00)()]()([22ffttttdttxdttxtx002)]([)()(2fttdttxtx0)()(2fttdttxtxJ0)()(2的线性主部为，则J方法二0200)]()([)]()([fttdttxtxxyxyJJ020)]()([fttdttxtx00)()]()([2fttdttxtxtxfttdttxtx0)()(24．泛函极值定理0J0)]()([0xyxyJ6.泛函极值的必要条件――欧拉方程定理6.6.2设曲线)(tx的始点为00)(xtx，终点为ffxtx)(，则使性能泛函fttttxxLJ0d),,(取极值的必要条件是：)(tx为二阶微分方程0ddxLtxL或其展开式00xLxLLLxxxxtxx的解。其中)(tx应有连续的二阶导数，0),,(txxL至少应两次连续可微。欧拉方程证明：设极值曲线为，泛函极值为)(*tx)(*tJ在极值曲线附近有一容许曲线，则代表了与之间所有可能的曲线。)()(*ttx10),()(*ttx)(*tx)()(*ttx当时，就是极值曲线。0)(tx)(*txfttttxxLxJ0d),,()(根据泛函极值条件0])([0txJJ000d),,(])([fttttxxLtxJ00d)(),,()(),,(ftttxtxxLxtxxLftttxtxxLxtxxL0d),,(),,(fftttttxLtxL00dd对第二部分分部积分ffftttttttxLtxLtxL000dddd0ddd])([000ffttttxLtxLtxLtxJ0ddd0ftttxLtxL0ddxLtxL欧拉方程展开后得00xLxLLLxxxxtxx欧拉方程是一个二阶方程，需要两个边界条件如果有两个固定端点，边界条件为：00)(xtxffxtx)(如有自由端点，则自由端满足00fttxL确定的边界条件为00txL0ftxL例6-5设受控对象的微分方程为ux以和为边界条件，求使下列性能泛函极值取最小值。0xfx*ufttuxJ022d)(解：将微分方程带入性能泛函fftttxxtuxJ022022d)(d)(22),(xxxxL欧拉方程为022ddxxxLtxL解得tteCeCtx21)(带入边界条件021)0(xCCxfttfxeCeCtxff21)(解上面方程得到C1和C2，即获得)(*tx根据，可得最优控制ux*u6.5用变分法求解连续系统的最优控制问题拉格朗日问题系统状态方程为]),(),([)(ttttuxfx性能泛函为fttttttLJ0d]),(),([ux寻求最优控制u(t)，将系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，并使性能泛函J取极值解状态方程写成约束方程形式0)(]),(),([ttttxuxf应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函：fttTtttttttttLJ0d)](]),(),([)[(]),(),([xuxfλuxfttTTttttttttttLJ0d)()(]),(),([)(]),(),([xλuxfλuxtttttttLHT),(