蚌埠市2019-2020学年第一学期期末质量监测高二数学(文)试题

书书书蚌埠市２０１９—２０２０学年度第一学期期末学业水平监测高二数学（文科）（本卷满分１５０分，考试时间１２０分钟）一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分在每小题给出的Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑１直线ｘ＝１的倾斜角为Ａπ２ＢπＣ０Ｄ不存在２．空间直角坐标系中，点（１，－２，３）关于ｚ轴对称点的坐标是Ａ（－１，２，－３）Ｂ（－１，２，３）Ｃ（－１，－２，－３）Ｄ（１，２，３）３如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，Ｅ，Ｆ分别是Ａ′Ｂ′，ＢＢ′的中点，则异面直线ＥＦ与ＡＤ′所成角的大小为Ａ３０°Ｂ４５°Ｃ６０°Ｄ９０°４圆Ｏ１：ｘ２＋ｙ２＝１与圆Ｏ２：ｘ２＋ｙ２－６ｘ－８ｙ＋９＝０的位置关系为Ａ外离Ｂ相交Ｃ外切Ｄ内切５已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｋｘ从ｘ＝－２到ｘ＝２的平均变化率为３，则ｋ的值为Ａ１Ｂ０Ｃ２Ｄ－２６若ｌ，ｍ是两条不重合的直线，ｍ平行于平面α，则“ｌ∥α”是“ｌ∥ｍ”的Ａ充分而不必要条件Ｂ必要而不充分条件Ｃ充分必要条件Ｄ既不充分也不必要条件７已知命题ｐ：ｘ≥０，ｅｘ≥１或ｃｏｓｘ≤１，则ｐ为Ａｘ≥０，ｅｘ＜１或ｃｏｓｘ＞１Ｂｘ≥０，ｅｘ＜１且ｃｏｓｘ＞１Ｃｘ＜０，ｅｘ＜１且ｃｏｓｘ＞１Ｄｘ＜０，ｅｘ＜１或ｃｏｓｘ＞１８一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为Ａ２πＢπＣ４３πＤ５３π　　第３题图　　　　　　　　第８题图　　　　　　　　　　　第９题图）页４共（页１第卷试）文（学数二高市埠蚌９如图，矩形ＡＢＣＤ中，｜ＡＢ｜＝８，｜ＢＣ｜＝６，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是矩形四条边的中点，现分别把线段ＯＦ及线段ＣＦ分为ｎ等分（ｎ≥４）（图中只是６等分的示意图），ＯＦ上的分点依次为Ｅｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ－１），ＣＦ上的分点依次为Ｄｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ－１），ＧＤｉ与ＥＥｉ的交点为Ｎｉ，则点Ｎｉ的轨迹为Ａ抛物线ｘ２＝－１４的一部分Ｂ椭圆ｘ２１６＋ｙ２９＝１的一部分Ｃ抛物线ｙ＝－ｘ２＋３的一部分Ｄ椭圆ｘ２６４＋ｙ２３６＝１的一部分１０设双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的离心率为２，则其渐近线方程为Ａｙ＝±槡３ｘＢｙ＝±２ｘＣｙ＝±槡３３ｘＤｙ＝±１２ｘ１１给出命题：①ｘ０∈Ｒ，２ｘ０≤０；②“ｘ０∈Ｒ，ｌｇ（ｘ２０＋１）＜０”的否定；③“若ｘ２＞ｘ，则ｘ＞１”的逆命题；④“若ｘ２＜ｙ２，则ｘ＜ｙ”的逆否命题其中正确命题的序号为Ａ①②Ｂ②③Ｃ②④Ｄ③④１２函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ａｘ（ｘ＞０），若函数ｆ（ｘ）有两个零点，则ａ的取值范围是Ａａ＞ｅＢａ≥ｅＣａ＜１ｅＤａ＞１ｅ二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分请将答案直接填在答题卷相应位置上１３抛物线ｙ＝１４ｘ２的准线方程是１４已知三点Ａ（１，－１），Ｂ（２，－３），Ｃ（４，２ａ）在同一条直线上，则ａ＝１５函数ｙ＝２ｃｏｓｘ＋ｘ－槡３在区间上［０，π２］的最大值是１６正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ＝２，ＡＡ１＝４，则点Ｃ到平面ＡＢＣ１的距离三、解答题：本大题共６小题，共７０分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤１７（本小题满分１０分）已知直线ｌ经过直线ｘ＋ｙ－２＝０与直线ｘ－ｙ＋２＝０的交点Ｐ．（１）若直线ｌ平行于直线ｘ－ｙ－８＝０，求直线ｌ的方程；（２）若直线ｌ垂直于直线３ｘ－ｙ－８＝０，求直线ｌ的方程．）页４共（页２第卷试）文（学数二高市埠蚌　　１８（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝１２ｘ２－ａｌｎｘ（ａ∈Ｒ），若函数ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线与直线ｘ－２ｙ＋１＝０平行（１）求实数ａ的值；（２）求ｆ（ｘ）的单调区间１９．（本小题满分１２分）已知点Ｍ（４，４），圆（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝４（１）求过点Ｍ的圆的切线方程；（２）若直线ｘ－ａｙ－４＝０与圆相交与Ａ，Ｂ两点，且弦ＡＢ的长为槡２３，求ａ的值２０．（本小题满分１２分）如图所示，平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝４５°，ＡＢ＝２，ＡＤ＝槡２２，将△ＣＢＤ沿ＢＤ折起到△ＥＢＤ的位置，使平面ＥＢＤ⊥平面ＡＢＤ（１）求证：直线ＡＢ⊥ＤＥ；第２０题图（２）求三棱锥Ｅ－ＡＢＤ的侧面积）页４共（页３第卷试）文（学数二高市埠蚌　　２１（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－１２ｘ＋３在ｘ＝±２处取得极值（１）讨论ｆ（２）和ｆ（－２）是函数ｆ（ｘ）的极大值还是极小值；（２）若对于区间［－２，２］上任意两个自变量ｘ１，ｘ２，都有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜≤ｍ，求实数ｍ的最小值２２（本小题满分１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的短轴ＡＢ长为２，长轴端点为Ｄ，Ｅ，Ｐ，Ｑ为ＯＤ，ＯＥ的中点，Ｏ为坐标原点，且四边形ＡＰＢＱ是正方形（１）求椭圆Ｃ的标准方程；（２）设直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ与椭圆Ｃ交于Ｍ，Ｎ两点，若ｋＯＭ·ｋＯＮ＝５４，求证：点（ｍ，ｋ）在定圆上）页４共（页４第卷试）文（学数二高市埠蚌蚌埠市２０１９—２０２０学年度第一学期期末学业水平监测高二数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＢＣＣＡＤＢＤＢＡＢＡ二、填空题：１３ｙ＝－１　　　　１４－７２　　　　１５π６　　　　１６槡４５７１９三、解答题：１７解：由ｘ＋ｙ－２＝０ｘ－ｙ＋２＝{０　解得ｘ＝０ｙ＝{２，所以点Ｐ（０，２）２分…………………………………（１）由直线ｌ平行于直线ｘ－ｙ－８＝０，所以直线ｌ的斜率为１，故直线ｌ的方程为ｙ－２＝ｘ－０，化简得ｘ－ｙ＋２＝０６分……………………（２）由直线ｌ垂直于直线３ｘ－ｙ－８＝０，所以直线ｌ的斜率为－１３，故直线的方程为ｙ－２＝－１３（ｘ－０），化简得ｘ＋３ｙ－６＝０１０分……………１８解：（１）ｆ′（ｘ）＝ｘ－ａｘ＝ｘ２－ａｘ，根据题意有ｆ′（１）＝１－ａ＝１２，解得ａ＝１２　　　　　　　　　　　５分………………………………………………………（２）由（１）ｆ′（ｘ）＝ｘ２－１２ｘ，令ｆ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝±槡２２，７分………………………当ｘ∈（０，槡２２）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，９分………………………………当ｘ∈（槡２２，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，１１分…………………………综上所述：ｆ（ｘ）单调递增区间是（槡２２，＋∞），单调递减区间是（０，槡２２）．１２分……１９解：（１）由题意知圆心的坐标为（２，１），圆的半径ｒ＝２，当过点Ｍ的直线的斜率不存在时，方程为ｘ＝４，圆心（２，１）到直线ｘ＝４的距离为２，此时直线与圆相切；２分……………………当过点Ｍ的直线的斜率存在时，设方程为ｙ－４＝ｋ（ｘ－４），即ｋｘ－ｙ－４ｋ＋４＝０，由题意知｜２ｋ－１－４ｋ＋４｜ｋ２＋槡１＝２，解得ｋ＝５１２，所以方程为５ｘ－１２ｙ＋２８＝０，所以过点Ｍ的圆的切线方程为ｘ＝４或５ｘ－１２ｙ＋２８＝０６分………………）页３共（页１第案答卷试）文（学数二高市埠蚌（２）因为圆心到直线ｘ－ａｙ－４＝０的距离为｜２－ａ－４｜１＋ａ槡２＝｜ａ＋２｜１＋ａ槡２，又弦ＡＢ的长为槡２３，所以（｜ａ＋２｜１＋ａ槡２）２＋（槡３）２＝４，解得ａ＝－３４，故ａ的值为－３４１２分……………………………………………２０（１）证明：在△ＡＢＤ中，∵ＡＢ＝２，ＡＤ＝槡２２，∠ＤＡＢ＝４５°，∴ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ·ＡＤ·ｃｏｓ∠ＤＡＢ＝４，从而ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２，所以ＡＢ⊥ＢＤ，２分…………………………………………又平面ＥＢＤ⊥平面ＡＢＤ，∴ＡＢ⊥平面ＥＢＤ，４分…………………………………………………………………∵ＤＥ平面ＥＢＤ，∴ＡＢ⊥ＤＥ６分…………………………………………………………………………（２）解：显然，Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤ＝１２ＡＢ·ＢＤ＝２７分………………………………又ＡＢ⊥平面ＢＤＥ，ＢＥ平面ＢＤＥ，∴ＡＢ⊥ＢＥ∵ＢＥ＝ＢＣ＝ＡＤ＝槡２２，∴Ｓ△ＡＢＥ＝１２ＡＢ·ＢＥ＝槡２２．∵ＤＥ⊥ＢＤ，且平面ＢＤＥ⊥平面ＡＢＤ，∴ＤＥ⊥平面ＡＢＤ，又ＡＤ平面ＡＢＤ，∴ＥＤ⊥ＡＤ∴Ｓ△ＡＤＥ＝１２ＡＤ·ＤＥ＝槡２２１１分……………………………………………………综上，三棱锥Ｅ－ＡＢＤ的侧面积为槡４２＋２１２分……………………………………２１解：（１）ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ－１２又函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－１２ｘ＋３在ｘ＝±２处取得极值所以ｆ′（－２）＝１２ａ－４ｂ－１２＝０ｆ′（２）＝１２ａ＋４ｂ－１２＝{０解得ａ＝１ｂ＝{０３分…………………………………当ａ＝１，ｂ＝０时，函数ｆ（ｘ）的导函数为ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－１２令ｆ′（ｘ）＞０３ｘ２－１２＞０ｘ＜－２或ｘ＞２ｆ′（ｘ）＜０３ｘ２－１２＜０－２＜ｘ＜２故ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－∞，－２），（２，＋∞），单调递减区间为（－２，２）；　　　　　　　　　　６分…………………………………………………………所以ｆ（－２）是ｆ（ｘ）的极大值，ｆ（２）是ｆ（ｘ）的极小值８分…………………………（２）由题意，当ｘ∈［－２，２］时，ｍ≥ｍａｘ｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜，所以ｍ≥ｆ（ｘ）ｍａｘ－ｆ（ｘ）ｍｉｎ，由（１）知ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（－２）＝１９，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（２）＝－１３，所以ｍ≥１９－（－１３）＝３２，故ｍ的最小值为３２１２分……………………………２２解：（１）由已知得：ｂ＝１，１分…………………………………………………………………又四边形ＡＰＢＱ是正方形，所以ＯＤ＝２ＯＰ＝２ＯＡ，即ａ＝２ｂ＝２３分………………………………………∴椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２４＋ｙ２＝１５分…………………………………………）页３共（页２第案答卷试）文（学数二高市埠蚌（２）设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），联立ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ｘ２４＋ｙ２＝１{，得（４ｋ２＋１）ｘ２＋８ｋｍｘ＋４ｍ２－４＝０，依题意，△＝（８ｋｍ）２－４（４ｋ２＋１）（４ｍ２－４）＞０，化简得ｍ２＜４ｋ２＋１，①且ｘ１＋ｘ２＝－８ｋｍ４ｋ２＋１，ｘ１ｘ２＝４ｍ２－４４ｋ２＋１，８分……………………………………………∴ｙ１ｙ２＝（ｋｘ１＋ｍ）（ｋｘ２＋ｍ）＝ｋ２ｘ１ｘ２＋ｋｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２，若ｋＯＭ·ｋＯＮ＝５４，则ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝５４，即４ｙ１ｙ２＝５ｘ１ｘ２，∴４ｋ２ｘ１ｘ２＋４ｋｍ（ｘ１＋ｘ２）＋５ｍ３＝５ｘ１ｘ２，∴（４ｋ２－５）·４（ｍ２－１）４ｋ２＋１＋４ｋｍ·（－８ｋｍ４ｋ３＋１）＋４ｍ２＝０，即（４ｋ２－５）（ｍ２－１）－８ｋ２ｍ２＋ｍ２（４ｋ２＋１）＝０，化简得ｍ２＋ｋ２＝５４，②　　　　　　　　　　　　　　　　　１１分……………………………………由①②得０≤ｍ２＜６５，１２０＜ｋ２≤５４，∴点（ｍ，ｋ）在定圆ｘ２＋ｙ２＝５４上１２分……………………………………………注：未求出ｍ２，ｋ２的范围不扣分．（其它解法请参照以上评分标准酌情赋分））页３共（页３第案答卷试）文（学数二高市埠蚌