2007年河南专升本高等数学真题+真题解析

2007河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题（每小题2分，共50分）1．集合3,4,5的子集个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】n元素集合的子集个数为2n个，故已知集合的子集个数为328．2．函数()arcsin(1)3fxxx的定义域是（）A．0,1B．0,2C．0,3D．1,3【答案】B【解析】要使arcsin(1)x有意义，须使11x，解得02x；要使3x有意义，须使30x，解得3x；综上，函数的定义域为0,2．3．当0x时，与x不等价的无穷小量是（）A．2xB．sinxC．1xeD．ln(1)x【答案】A【解析】显然2x与x在0x时不等价．4．0x是函数1()arctanfxx的（）A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点【答案】C【解析】因函数1()arctanfxx在0x处无定义，所以0x为()fx的间断点．又001lim()limarctan2xxfxx，001lim()limarctan2xxfxx，故点0x为()fx的跳跃间断点．5．设()fx在1x处可导，且(1)1f，则0(12)(1)limhfhfhh（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】00(12)(1)(12)(1)(1)(1)limlim(2)3(1)32hhfhfhfhffhffhhh．故选C．6．设()fx在区间(,)ab内有()0fx，()0fx，则()fx在区间(,)ab内（）A．单调减少且凹的B．单调增加且凸的C．单调减少且凸的D．单调增加且凹的【答案】B【解析】由()0fx可知()fx在区间(,)ab上单调增加，由()0fx可知函数是凸的，故选B．7．曲线31yx的拐点为（）A．(0,1)B．(1,0)C．(0,0)D．(1,1)【答案】A【解析】6yx，令0y得0x，当0x时，0y，当0x时，0y，故点(0,1)是曲线的拐点．8．曲线2223xyx的水平渐近线为（）A．23yB．23yC．13yD．13y【答案】C【解析】2221lim33xxx，13y为曲线的水平渐近线，故选C．9．2040tanlimxxxdxx（）A．0B．12C．1D．2【答案】B【解析】2220433000tan2tan21limlimlim442xxxxxdxxxxxxxx．10．()fx是()gx的原函数，则下列正确的是（）A．()()fxdxgxCB．()()gxdxfxCC．()()gxdxfxCD．()()fxdxgxC【答案】B【解析】根据不定积分与原函数的关系可知()()gxdxfxC．11．cos(13)xdx（）A．1sin(13)3xCB．1sin(13)3xCC．sin(13)xCD．3sin(13)xC【答案】A【解析】11cos(13)cos(13)(13)sin(13)33xdxxdxxC．12．设0(1)(3)xyttdt，则(0)y（）A．3B．1C．1D．3【答案】D【解析】(1)(3)(0)3yxxy，故选D．13．下列广义积分收敛的是（）A．11dxxB．11dxxC．11dxxxD．101dxxx【答案】C【解析】由p积分的敛散性可知11dxxx收敛．14．关于不定积分221sincosdxxx，下列结果错误的是（）A．tancotxxCB．1tantanxCxC．cottanxxCD．cot2xC【答案】C【解析】C选项中，2222111cottansincossincosxxCxxxx，故选C．15．函数2yx在区间1,3的平均值为（）A．263B．133C．8D．4【答案】B【解析】3323111113()263baxfxdxxdxba，故选B．16．经过Oz轴，且经过点(3,2,4)的平面方程为（）A．320xyB．20yzC．230xyD．20xz【答案】C【解析】经过Oz轴的平面可设为0AxBy，把点(3,2,4)代入得230xy．17．双曲线221340xzy绕z轴旋转得曲面方程为（）A．222134xyzB．222134xyzC．22()134xyzD．22()134xyz【答案】A【解析】把22134xz中2x换成22xy得222134xyz，故选A．18．0039limxyxyxy等于（）A．16B．16C．0D．极限不存在【答案】B【解析】0000003911limlimlim6(39)39xxxyyyxyxyxyxyxyxy．19．设yzx，则(,1)ezy（）A．1eB．1C．eD．0【答案】C【解析】(,1)(,1)lnlnyeezxxeeey，故选C．20．方程231zyxz所确定的隐函数(,)zfxy，则zx（）A．223zyxzB．232zxzyC．23zyxzD．32zxzy【答案】A【解析】令23(,,)1Fxyzzyxz，则3xFz，223zFyzxz，故223xzFzzxFyxz．21．设C为抛物线上从点(0,0)到点(1,1)之间的一段弧，则22Cxydxxdy（）A．1B．0C．1D．2【答案】C【解析】C：2xxyx，x从0变到1，1230241Cxydxxdyxdx，故选C．22．下列正项级数收敛的是（）A．2131nnB．21lnnnnC．221(ln)nnnD．21nnnn【答案】C【解析】21lndxxx发散，221(ln)dxxx收敛，由积分判别法知B发散，C收敛；其余几个级数均与级数具有相同的发散性．故选C．23．幂级数101(1)3nnnx的收敛区间为（）A．(1,1)B．(3,3)C．(2,4)D．(4,2)【答案】D【解析】令1xt，级数化为10011333nnnnntt，级数收敛区间为(3,3)，即1(3,3)x，故(4,2)x，选D．24．微分方程32cosxyyyex利用待定系数求特解时，设*y（）A．cosxCexB．12(cossin)xeCxCxC．12(cossin)xxeCxCxD．212(cossin)xxeCxCx【答案】B【解析】特征方程为2320rr，特征根为11r，22r，而1i不是特征方程的特征根，特解应设为*12(cossin)xyeCxCx．25．函数()yfx满足微分方程2xyye，且0()0fx，则()fx在0x处（）A．有极小值B．有极大值C．无极值D．有最大值【答案】A【解析】0022000()()()0xxfxfxefxe，故选A．二、填空题（每小题2分，共30分）26．设()25fxx，则()1ffx________．【答案】413x【解析】()12()152()32(25)3413ffxfxfxxx．27．2lim!nnn________．【答案】0【解析】构造级数02!nnn，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件可得2lim0!nnn．28．设函数43,0()2,02xexfxaxx在0x处连续，则a________．【答案】6【解析】0lim()3xfx，0lim()2xafx，由题意可知32a，故6a．29．曲线22yxx在点M处的切线平行于直线51yx，则点M的坐标为________．【答案】(2,4)【解析】215yx，从而2x，4y，故点M坐标为(2,4)．30．已知21()xfxe，则(2007)(0)f________．【答案】200712e【解析】()21()2nnxfxe，故(2007)20071(0)2fe．31．曲线23121xtytt，则1|tdydx________．【答案】1【解析】114113||ttdytdx．32．若函数2()fxaxbx在1x处取得极值2，则a________，b________．【答案】2，4【解析】(1)2fab，(1)20fab，联立解得2a，4b．33.()()fxdxfx________．【答案】ln()fxC【解析】()()ln()()()fxdfxdxfxCfxfx．34．1201xdx________．【答案】4【解析】122011144xdx．35．向量34ijk的模a________．【答案】26【解析】22234(1)26a．36．平面1:2570xyz与平面2:43130xymz垂直，则m________．【答案】2【解析】1(1,2,5)n，2(4,3,)mn，1246502mmnn．37．函数22(,)fxyxyxy，则(,)fxy________．【答案】22xy【解析】2222(,)()2(,)2fxyxyxyxyxyfxyxy．38．二次积分22120(,)yyIdyfxydx交换积分次序后为________．【答案】2211220002(,)(,)xxdxfxydydxfxydy【解析】22(,)0,12Dxyyyxy222(,)0,0(,)1,0122xyxyxxyxyx，故积分次序交换后为2211220002(,)(,)xxdxfxydydxfxydy．39．若级数11nnu收敛，则级数1111nnnuu的和为________．【答案】11u【解析】122311111111111nnnnSuuuuuuuu，而11lim0nnu，故11limnnSSu．40．微分方程20yyy的通解为________．【答案】12xxyCeCxe（12,CC为任意常数）【解析】特征方程为2210rr，特征根为121rr，故通解为12xxyCeCxe（12,CC为任意常数）．四、计算题（每小题5分，共40分）46．计算sin0limxxx．【答案】1【解析】0000lnlim1limsinlnlimlnlimsinsinln000limlim1xxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeee．47．已知2311xyxx，求dydx．【答案】23121113(1)3(1)xxxxxx【解析】两边取自然对数得1ln2lnln1ln13yxxx，两边对x求导得2111311yyxxx，故23121113(1)3(1)dyxxdxxxxx．48．求2ln(1)xexdx．【答案】21(1)ln(1)2xexxxC【解析】22211ln(1)