算法设计与分析习题答案1-6章

习题11.图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。七桥问题属于一笔画问题。输入：一个起点输出：相同的点1，一次步行2，经过七座桥，且每次只经历过一次3，回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法=m-n2.循环直到r=0m=nn=rr=m-n3输出m3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){doublevalue=0;图七桥问题北区东区岛区南区for(intn=1;n=10000;++n){value=value*10+1;if(value%2013==0){coutn至少为:nendl;break;}}计算π值的问题能精确求解吗编写程序，求解满足给定精度要求的π值#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){doublea,b;doublearctan(doublex);圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){intvalue,k=1;cinvalue;for(inti=2;i!=value;++i){while(value%i==0){k+=i;有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成甲每次分别带着乙丙丁过桥例如：第一趟：甲，乙过桥且甲回来第二趟：甲，丙过桥且甲回来第一趟：甲，丁过桥一共用时19小时9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动为什么设最初两个数较大的为a,较小的为b，两个数的最大公约数为factor。则最终能出现的数包括:factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。习题21．如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))，解答下列问题：（1）证明加法定理：T1(n)＋T2(n)=max{O(f(n)),O(g(n))}；（2）证明乘法定理：T1(n)×T2(n)=O(f(n))×O(g(n))；（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。,（1）（2）（3）比如在for（f(n)）{for(g(n))}中应该用乘法定理如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理2．考虑下面的算法，回答下列问题：算法完成什么功能算法的基本语句是什么基本语句执行了多少次算法的时间复杂性是多少（1）完成的是1-n的平方和基本语句：s+=i*i，执行了n次时间复杂度O（n）（2）（2）完成的是n的平方（1）intStery(intn){intS=0;for(inti=1;i=n;i++)S=S+i*i;returnS;}（2）intQ(intn){if(n==1)return1;elsereturnQ(n-1)+2*n-1;}基本语句：returnQ(n-1)+2*n–1，执行了n次时间复杂度O（n）3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。（1）基本语句2*in执行了n/2次基本语句y=y+i*j执行了2/n次一共执行次数=n/2+n/2=O（n）（2）基本语句m+=1执行了(n/2)*n=O(n*n)4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式：（1）1)1(314)(nnTnnT（2）1)3(211)(nnnTnnT(1)intT(intn){if(n==1)return4;elseif(n1)return3*T(n-1);}(2)intT(intn){if(n==1)return1;elseif(n1)return2*T(n/3)+n;}5.求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。（1）求数组中的最大元素；（2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图；（3）确定数组中的元素是否都是惟一的；（4）生成一个具有n个元素集合的所有子集(1)Ω(n)紧密(2)Ω(n*n)(3)Ω(logn+n)（先进行快排，然后进行比较查找）（1）for(i=1;i=n;i++)if(2*i=n)for(j=2*i;j=n;j++)y=y+i*j；（2）m=0;for(i=1;i=n;i++)for(j=1;j=2*i;j++)m=m+1;(4)Ω(2^n)7．画出在三个数a,b,c中求中值问题的判定树。8．国际象棋是很久以前由一个印度人Shashi发明的，当他把该发明献给国王时，国王很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。Shashi要求以这种方式给他一些粮食：棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，……，以此类推，直到64个方格全部放满。这个奖赏的最终结果会是什么样呢#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){longdoubleresult=1;doublej=1;for(inti=1;i=64;++i){j=j*2;result+=j;j++;}coutresultendl;return0;}ababc是是是否否否acbcbacbcCbabcaacCabacb否否是是习题31．假设在文本ababcabccabccacbab中查找模式abccac，写出分别采用BF算法和KMP算法的串匹配过式化简。设计算法，将一个给定的真分数化简为最简分数形式。例如，将6/8化简为3/4。#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){intn;数字游戏。把数字1,2,…,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中，使得该等式成立。要求9个数字均出现一次且仅出现一次，且数字1不能出现在乘和除的一位数中（即排除运算式中一位数为1的平凡情形）。×＋÷－=05.设计算法求解anmodm，其中a、n和m均为大于1的整数。（提示：为了避免an超出int型的表示范围，应该每做一次乘法之后对n取模）#includeiostreamusingnamespacestd;intsquare(intx){returnx*x;}设计算法，在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素，要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。7.设计算法，在数组r[n]中删除重复的元素，要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。#includeiostreamusingnamespacestd;voiddeletere(inta[],intN){intb[100]={0};inti,k;k=0;staticintj=0;for(i=0;iN;i++)b[a[i]]++;for(i=0;i100;i++){if(b[i]!=0){if(b[i]==2){k++;}a[j]=i;j++;}}for(i=0;iN-k;i++)couta[i]endl;}intmain(){inta[]={1,2,1,3,2,4};deletere(a,6);return0;}设表A={a1,a2,…,an}，将A拆成B和C两个表，使A中值大于等于0的元素存入表B，值小于0的元素存入表C，要求表B和C不另外设置存储空间而利用表A的空间。荷兰国旗问题。要求重新排列一个由字符R,W,B（R代表红色，W代表白色，B代表兰色，这都是荷兰国旗的颜色）构成的数组，使得所有的R都排在最前面，W排在其次，B排在最后。为荷兰国旗问题设计一个算法，其时间性能是O(n)。设最近对问题以k维空间的形式出现，k维空间的两个点p1=(x1,x2,…,xk)和p2=(y1,y2,…,yk)的欧几里德距离定义为：kiii-xyppd1221)(),(。对k维空间的最近对问题设计蛮力算法，并分析其时间性能。11．设计蛮力算法求解小规模的线性规划问题。假设约束条件为：（1）x+y≤4；（2）x+3y≤6；（3）x≥0且y≥0；使目标函数3x+5y取得极大值。#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){intx,y,x0,y0;intsummax=0,temp=0;for(x0=0;x0=4;++x0){for(y0=0;(x0+y0=4)&&(x0+3*y0=6);++y0)temp=3*x0+5*y0;if(temp=summax){summax=temp;x=x0;变位词。给定两个单词，判断这两个单词是否是变位词。如果两个单词的字母完全相同，只是位置有所不同，则这两个单词称为变位词。例如，eat和tea是变位词。分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。2.证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。O(N)=2*O(N/2)+xO(N)+x=2*O(N/2)+2*xa*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x由此可知，时间复杂度可达到O(n);3.分治策略一定导致递归吗如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。不一定导致递归。如非递归的二叉树中序遍历。这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。4.对于待排序序列(5,3,1,9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。归并排序：第一趟：（5,3）（1,9）；第二趟：（3,5,1,9）；第三趟：（1,3,5,9）；快速排序：第一趟：5（,3,1,9）；设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置,要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。#includeiostreamusingnamespacestd;intdata[100];设计分治