大学课件 概率论与数理统计 第3章 随机向量补充题目

例１袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，每次取出的产品进行检查后放回袋中，设每次取出产品时，袋中每件产品被取到的可能性相等，定义下列随机变量。第一次取出的是正品，第一次取出的是次品1,0第二次取出的是正品，第二次取出的是次品1,0求(ξ,η)的分布律。解:(ξ,η)的分布律为25452520P0P0,0P25653521P0P1,0P25652530P1P0,1P25953531P1P1,1P1010254256256259例在例１中，如果每次取出后不放回，求(ξ,η)的分布律。解:(ξ,η)的分布律为10141520000,0PPP10343520101,0PPP10342531010,1PPP10342531111,1PPP1010101103103103例在整数1~5中任取一数ξ，(1)取ξ后放回去再取另一数η。(2)取ξ后不放回去再取另一数η。在这两种情况下分别求(ξ,η)的联合分布律、边缘分布律、P{ξ∣η=2}。解:51}{}2{251}{}{},{5,,2,1,51}{}{)1(iPiPjPiPjiPjijPiP独立，jijiijPiPjiPjijijiijPiP0201}{}{},{5,,2,1,041}{51}{)2(205,4,3,141}2{4151201}2{20}22{2}2{}2,{}2{5,,2,1512014},{}{51iiiPiPiPiPiPiPjjiPjPi即时，当时，当例设（X,Y)的联合分布密度为221(,)0kxyfxy其它（1）求k值（2）求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y1)和P(X1/2)(2)()(,)Xfxfxydy22111()xXxfxdy均匀分布解(1)由(,)1fxydxdy2211xykdxdyk得1k[1,1]x当时221x-11221[1,1]()0Xxxfx其它[1,1]x当时()0Xfx所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..-11()(,)Yfyfxydx22111()yYyfydx221[1,1]()0Yyyfy其它解[1,1]y当时[1,1]y当时()0Yfy所以，关于Y的边缘分布密度函数为221y1()(,)2DPXfxydxdy(1)(,)DPXYfxydxdy解（3）13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy22111121xxdxdy例：设（X,Y）的联合密度为101,13(,)20xyxyfxy其它判断X，Y是否独立。1132[0,1]()0Xxxfx其它[1,3]()40Yyyfy其它解：已求得边缘密度为从而：F(x,y)=FX(x)FY(y)故X,Y相互独立例已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解：（X,Y）的密度函数为14,(0,021)(,)20,xyxfxy其他当时，102x210()4xXfxdy4(21)x所以，关于X的边缘分布密度为14(21),(0)()20,Xxxfx其它关于X的边缘分布密度为()(,)Xfxfxydy当或时12x0x()0Xfx当时，01y012()4yYfydx2(1)y所以，关于Y的边缘分布密度为2(1),(01)()0,Yyyfy其它关于Y的边缘分布密度为()(,)Yfyfxydx当或时0y1y()0Yfy18(21)(1),(0,01)()()20,XYxyxyfxfy其它所以(,)fxy所以，X与Y不独立。例设二维连续型随机变量(ξ,η)的分布函数为F(x,y)=(A+Barctanx)(C+arctany)（１）求常数Ａ，Ｂ，Ｃ；（２）求(ξ,η)的分布密度；（３）D={(x,y):x-y0,x≤1}，求P{(ξ,η)∈D}。解:（１）由二维分布函数性质，得0arctan2,yCBAyF02arctan,CxBAxF122,CBAF21212CBA由以上三式可得到（２）(ξ,η)的分布密度2222111,,yxyxyxFyxyxyxFarctan121arctan121,（３）DdxdyyxDP,,1222111dxdyyxx1222arctan111dxxx329arctan2arctan211122xx定义：若fX(x)0,则在{X=x}发生的条件下Y的条件密度函数定义为,|(,)(|),()XYYXXfxyfyxyRfx定义：若fY(y)0,则在{Y=y}发生的条件下X的条件密度函数定义为,|(,)(|),()XYXYYfxyfxyxRfy例：设（X,Y）的联合密度为101,13(,)20xyxyfxy其它求：113|(|2)XYfxy|1(|)3YXfyx解：先求第一步，求y的边缘密度函数，第二步，再求条件密度函数，122224xx(),[1,3]4Yyfyy,|(,2)(|2)(2)XYXYYfxfxyf01x对于有：|(|2)XYfxy故条件密度函数为其他010)2(x2xyxfYX第一步，求x的边缘密度函数，第二步，再求条件密度函数，1123243yyX()2,[0,1]fxxx,|1(,)13(|)13()3XYYXXfyfyxf03y对于有：|1(|)3YXfyx再求故条件密度函数为其他0304)31(yyxyfYX例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布221212,,,,N分别积分，可得两个边缘密度函数为：即其联合密度函数为：12222112222211221(,)21()()()()1exp[2]2(1)fxyxxyy21212)(121)(xXexf22222)(221)(xYeyf例(X,Y)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二元正态分布,证明X,Y相互独立的充要条件是ρ＝0。证因为，2222212121YXyx21exp21yx充分性若ρ＝0，则对任意实数x，y有yxy,xYX即X,Y相互独立。必要性若X,Y相互独立，则对任意实数x，y有yxy,xYX2122121121取x=μ1，y=μ2时上式也成立，此时上式化为0即两个边缘分布分别服从正态分布211~,XN222~,YN与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布例分布的二维服从设),,,,(),(222121aaN解。、正态随机变量，求)()(xypyxp)(),()(ypyxpyxp])()1(21exp[12122211221ayax]2)(exp[]})())((2)([)1(21exp{21121222222222121212122221ayayayaxax由此可知的正态分布。的条件下，服从在))1(),((2212211ayaNy})]([)1(21exp{1212221122121ayax由此可知的正态分布。的条件下，服从在))1(),((2221122axaNx})]([)1(21exp{121)(2112222222axayxyp由对称性例设（X，Y）的联合分布密度函数为2221(,)(1sinsin),,2xyfxyexyxy求关于X，Y的边缘分布密度函数解关于X的分布密度函数为()(,)Xfxfxydy2221(1sinsin)2xyexydy22222211sinsin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xyexeydy~0,1XN所以，~0,1YN同理可得不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布