大学课件 概率论与数理统计 第3章 随机向量及其分布1

二维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其联合分布条件概率分布随机变量函数的概率分布•基本概念•离散型•连续型大家学习这一章时一定要和一维随机变量比较•基本想法相同•注意一些细节的差异例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。例：设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白球，2个黑球；从中任意抽取4个,观察抽球结果。解：我们仍然希望用随机变量来数量化基本事件空间。X为红球数目，Y为白球数目。X可取0,1,2,3；Y可取0,1,2,3,4。按古典概型计算得：4352410(,)ijijCCCPXiYjC注意到：0≤4-i-j≤2有：2≤i+j≤4设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义称为二维随机变量的联合分布函数xy(x,y)大家可以试着求第一个例子中X,Y的联合分布函数回忆：在一维随机变量中，P(aX≤b)=F(b)-F(a)在二维随机变量中，P（x1Xx2，y1Yy2）=F(x2,y2)-F(x1,y1)？)yY,xX(P)y,x(Fx1x2y1y2P（x1Xx2，y1Yy2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1Xx2，y1Yy2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)特征性质柯尔莫哥洛夫存在性定理单调不减，右连续；和分别关于yxyxF),()2(;1),(0)1(yxF0),(,0),()3(FyF1),(,0)(FxF，),()4(21hyYyhxXxP0),(),(),(),(2121yxFhyxFyhxFhyhxF边缘分布函数定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，则两个随机变量X、Y的边缘分布函数分别为FX(x)和FY(y)，其中：)()()(yxFlimYxXPxXPxFyX，，）（)()()(yxFlimyYXPyYPyFxY，，）（随机变量的相互独立性(,)()()XYfxyfxfy特别，对于离散型随机变量，该定义等价于★★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。ijijppp对任意i,j对任意x,y对于连续型随机变量，该定义等价于二维离散型随机变量若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。（X，Y）的联合概率分布（分布律）111ijijp表达式形式YX1y2yjy1x11p12p1jp2x21p22p2jpix1ip2ipijp。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质01ijp,(1,2,;1,2,)ijijPXxYypij例解设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白球，2个黑球；从中任意抽取4个,取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。求(X,Y)的联合概率函数及表格。4352410(,),ijijCCCPXiYjC03,04,24,ijijXY0123400010/21020/2105/2101015/21060/21030/210023/21030/21030/2100032/2105/210000边缘分布(,)XY二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用联合分布函数或联合概率函数来描述其取值规律。问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量各自的取值规律呢？如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………,3,2,1),(ji,pyYxXPijjijiijjijijippyYPppxXP)()(称为关于X的边缘分布称为关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………P.jP.1P.2P.3…1可将原表格补充为：jijiipxXPp)(iijjjpyYPp)(边缘分布各自为一个概率分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和，且Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和，且Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…11iiP11jjPjijiipxXPp)(iijjjpyYPp)(例：设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白球，2个黑球；从中任意抽取4个,取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。求(X,Y)的边缘分布。XY01234Pi.00010/21020/2105/21035/2101015/21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P.j5/21050/210100/21050/2105/2101三项分布例：设随机试验只有A,B和C三个结果,各结果出现的概率为p,q和1-p-q.现将该随机试验独立地做n次,记X和Y分别为其中A和B发生的次数,试求(X,Y)的联合分布与边缘分布.解：由题意X和Y的可能取值为0,1,2,…,n。由于试验是独立的,按独立试验概型来记算得(,)(1)ijnijnniPXiYjpqpqij0ijn先来求X的边缘分布：边缘分布X~B(n,p)相当于只观测A和Aci-njjYiXPiXP0)()(，j-i-njii-njq-p-qpji-nin)1(0i-njj-i-njiq-p-qji-npin0)1(i-nip-pin）（1再来求Y的边缘分布：边缘分布Y~B(n,q)相当于只观测B和Bcj-nijYiXPjYP0)()(，j-nij-i-nijq-p-pij-nqjn0)1(j-njq-qjn）（1j-i-njii-njq-p-qpij-njn)1(0背景：(X,Y)为二维随机变量X的边缘分布FX(x)可以认为是忽略随机变量Y的取值，仅关心X的分布情况。现在我们换一个角度，认定{Y=y}已发生，考虑在此条件下，X的分布情况。二维离散型随机向量条件分布列同时由条件概率定义：设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布列为：,ijijPXaYbp类似有：jiijjppbYP)(jijjjijippbYPbYaXPbYaXP)()()(，iijijiijppaXPbYaXPaXbYP)()()(，例：设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白球，2个黑球；从中任意抽取4个,取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。1.试求{Y=1}条件下X的条件分布列；2.试求{X=2}条件下Y的条件分布列。解：XY01234P00010/21020/2105/21035/2101015/21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P5/21050/210100/21050/2105/2101,0210500)1()1,0()10()1(YPYXPYXP,103)1()1,1()11(YPYXPYXP,53)1()1,2()12(YPYXPYXP.101)1()1,3()13(YPYXPYXP,211)2()2,0()20()2(XPXYPXYP,2110)2()2,1()21(XPXYPXYP,2110)2()2,2()22(XPXYPXYP,0)2()2,3()23(XPXYPXYP.0)2()2,4()24(XPXYPXYP二维离散型随机变量的相互独立特别，对于离散型随机变量，该定义等价于★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。ijijppp对任意i,j)()(),(jijibYPaXPbYaXP即在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明(,)()()XYFxyFxFy设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例ijijppp2/51/52/5P.j2/44/202/204/2021/42/201/202/2011/42/201/202/201/2Pi.20-1yx逐个验证等式证:∵X与Y的边缘分布律分别为故X、Y相互独立111..1220ppp2/51/52/5Pi.20-1X2/41/41/4P.j211/2Y121..2120ppp131..3420ppp212..1ppp222..2ppp232..3ppp313..1ppp323..2ppp333..3ppp例：设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白球，2个黑球；从中任意抽取4个,取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。判断X,Y是否独立。XY01234P00010/21020/2105/21035/2101015/21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P5/21050/210100/21050/2105/2101