大学课件 高等数学 平面及其方程

1第五节平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角小结思考题作业(plane)点到平面的距离第七章空间解析几何与向量代数2在空间内,确定一个平面的几何条件是多种多样的.如:点法确定、相交两直线确定等.不共线的三点确定、平面及其方程3xyzOn如果一非零向量垂直于法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量.已知),,,(CBAn),,(0000zyxM设平面上的任一点为),,(zyxMnMM0必有00nMM一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量.0MM一平面,这向量就叫做该平面的法线向量(法向量).平面及其方程4xyzOMM0平面的点法式方程平面称为方程的图形.CBAn,,法向量0)()()(000zzCyyBxxAn0MM平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程,上方程称为平面的方程,00nMM),,,(0000zyxM已知点),,,(zyxM平面上任一点平面及其方程),,(000zzyyxx5解21PP取n平面方程为,0)1(4)1()1(zyx化简得.024zyx),4,1,1(0)()()(000zzCyyBxxA平面的点法式方程122011kjin例的及求经过点)0,1,1()1,0,2(),1,1,1(321PPP平面方程.)0,1,1()1,2,2(31PP3121PPPP1P2P3P4,1,1,,CBA法一平面及其方程6的及求经过点)0,1,1()1,0,2(),1,1,1(321PPP平面方程.解所求方程的三点式为0122011111zyx平面方程为.024zyx1P2P3P),,(zyxP法二平面及其方程7平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxACzByAxD0DCzByAx平面的一般方程法向量CBAn,,二、平面的一般方程任意一个形如上式0)(000CzByAxABC的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程8平面一般方程的几种特殊情况,0)1(D平面通过坐标原点；,0)2(A,0D平面通过轴；x平面平行于轴；x,0)3(BA平面平行于xOy坐标面；类似地可讨论0,0CBCA0,0CB类似地可讨论y轴轴zxOz面yOz面(由柱面可知)0DCzByAx平面的一般方程平面及其方程,0D9设平面为,0DCzByAx将三点坐标代入得,0,0,0DcCDbBDaA,aDA,bDB.cDC解平面及其方程例设平面与x,y,z三轴分别交于求此平面方程.),0,,0(),0,0,(bQaP),0,0,0(cba其中),0,0(cR1czbyax平面的截距式方程10x轴上截距y轴上截距z轴上截距今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.并作图.012243zyx将化为截距式方程,平面及其方程1czbyax平面的截距式方程11设平面过点及x轴,求其方程.用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程:求法向量解法一kjkji22130010)2(1)1(2zy即)2,1,3(0M02zy平面及其方程0OMinxyzOn0M12用待定常数法.设平面过点及x轴,求其方程.即法二0DCzByAx设平面方程是0CzBy从而平面方程是02CB即从而平面方程是.2CB.02CzCy.02zy得平面及其方程点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,,0DA)2,1,3(0M13易知平面上三点O(0,0,0),P(1,0,0),设M(x,y,z)为平面上的任意一点,可得其方程想一想还有别的方法吗?答:有!法三)2,1,3(0M平面及其方程设平面过点及x轴,求其方程.)2,1,3(0M根据三向量OM,共面的充要条件,有OM0,OP0001213zyx02zy0][0OPOMOM即14求平面方程常用两种方法:利用条件定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程1512定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角平面及其方程两平面的夹角.0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA1n2n),,(1111CBAn),,(2222CBAn16按照两向量夹角余弦公式有||||cos2121nnnn两平面夹角余弦公式两平面位置特征：21)1(0212121CCBBAA21)2(//212121CCBBAA两平面垂直、平行的充要条件平面及其方程222222212121212121||CBACBACCBBAA取锐角),,(1111CBAn),,(2222CBAn17例研究以下各组里两平面的位置关系:013,012)1(zyzyx解cos601cos两平面相交,.601arccos夹角222222212121212121||cosCBACBACCBBAA平面及其方程,31)1(2)1(|311201|2222218,)0,1,1(1M两平面平行但不重合.,212142,)0,1,1(1M两平面平行两平面重合02224,012)3(zyxzyx解01224,012)2(zyxzyx解),1,1,2(1n)2,2,4(2n,212142两平面平行2)0,1,1(M2)0,1,1(M平面及其方程19例解),,,()0,,(),0,0,0(21aaaMaaMO和平面通过点).0(axOy面的交角求该平面与所求方程的三点式为00aaaaazyx21,,MMO故过三点的平面方程为02zyx的方程为平面xOy.0z设两平面的交角为,则cos222222212121212121||cosCBACBACCBBAA36.36arccos平面及其方程222222100)2(11|1)2(0101|20设平面为,0DCzByAx,0D0236CBA)2,1,4(n024CBA,32CBA.0322zyx所求平面方程为解平面及其方程例1996考研数学(一),3分与平面824zyx垂直且过原点及点)2,3,6(的平面方程为().nxyzO(,,)ABC21平面及其方程与平面824zyx垂直且过原点及点)2,3,6(的平面方程为().解)2,1,4()2,3,6(n)6,4,4(∥)3,2,2(平面的点法式方程0322zyxnxyzO1996考研数学(一),3分22设所求平面为1czbyax1V12131abc由所求平面与已知平面平行得(向量平行的充要条件)解平面及其方程例所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.0566zyx求平行于平面而与三个坐标面cba61161txyzOabc611161cba23,61ta,1tbtc61ttt61161611代入体积式61t1,6,1cba.666zyx所求平面方程为12131abc平面及其方程cba61161t所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.0566zyx求平行于平面而与三个坐标面24),1,1,1(1n)12,2,3(2n取法向量21nnn)5,15,10(0)1(1)1(3)1(2zyx化简得.0632zyx平面方程为解∥)1,3,2(.平面及其方程例求过点(1,1,1)且与平面7zyx和平面051223zyx都垂直的平面方程.25点到平面的垂直距离0:),,(0000DCzByAxzyxP是平面设外一点,.0的距离到平面求P平面及其方程四、点到平面的距离,),,(1111zyxPn0P),,(CBAn1Pd并作向量.01PP的距离到平面0Pd|cos|||01PP),(01之夹角的法向量与是nPP即d||01PP||n|cos|||n||01nnPP由于nPP01),(111000CzByAxCzByAxD1P26平面及其方程222000||CBADCzByAxdd),,(CBAn||01nnPPnPP01DCzByAx0000:),,(0000DCzByAxzyxP到平面点的距离公式为27222000||CBADCzByAxd点到平面距离公式313填空的到平面点01022)1,1,1(0zyxM).(距离为解222)1(22|101)1(1212|d313平面及其方程28解例平行且一平面与平面075420zyx,6个单位相距求这平面方程.设所求平面为05420zyxD在已知平面075420zyx上任取一点).0,47,0(222000||CBADCzByAxd,62516400|7|D.126|7|D133D119D或故所求平面为01335420zyx或01195420zyx平面及其方程291.两平行平面与间距离为(),其的方程分别为:(A)1(B)21(C)2(D)21A选择题,0218419zyx0428419zyx21,12222000||cBADCzByAxd提示,21∥).821,0,0(1上任取一点可在平面及其方程302.已知平面通过点(k,k,0)与(2k,2k,0),其中k≠0,且垂直于xOy平面,则该平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0的系数必满足().a;0,)(DCBAa;0,)(DACBb;0,)(DBACc.0,)(DBACd解答代入与将)0,2,2()0,,(kkkk,0中DCzByAx分别得0DBkAk022DBkAk,0D.0C,BA平面及其方程31(熟记平面的几种特殊位置两平面的夹角点到平面的距离公式平面的点法式方程(两平面垂直、平行的充要条件)四、小结平面及其方程(关键确定平面的法向量)平面的一般方程的方程)平面的截距式方程(研究几何图形)32思考题1平面及其方程如何确定平面的法向量?解答确定平面的法向量是建立平面方程的关键所在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同的方法:(1)如果已知点M0(x0,y0,z0)在平面Π上的垂足为M1(x1,y1,z1),则);,,(010101zzyyxxn(2)如果平面Π与已知平面0DCzByAx平行,则);,,(CBAn(3)如果平面Π过三点A,B,C,则.ACABn33思考题2(是非题)平面及其方程非平面0czbyax在x、y、z轴的截距分别是a、b、c.因为这是一过原点的平面.34作业习题7-5(329页)1.5.8.9.平面及其方程