大学课件 高等数学 曲线积分与曲面积分 2

1例题习题课教学要求第十章曲线积分与曲面积分场论初步2一、教学要求曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件.1.理解两类曲线积分的概念,了解两类3.掌握格林(Green)公式,会使用平面第十章曲线积分与曲面积分习题课3Gauss)、5.了解散度、旋度的概念及其计算6.会用曲线积分、4.了解两类曲面积分的概念及高斯并会计算两类曲面积分.斯托克斯(Stokes)公式,方法.曲面积分求一些几何量与物理量.第十章曲线积分与曲面积分习题课4梯度kzujyuixuugrad通量旋度环流量zRyQxPAdivyxRxzQzyPddddddkyPxQjxRzPizQyRA)()()(rot散度二、场论初步zRyQxPsdAddd第十章曲线积分与曲面积分习题课5思路LyQxPIddxQyPxQyP0ddLyQxPI),(),(00ddyxyxyQxPI闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式三、例题对坐标的曲线积分的计算法第十章曲线积分与曲面积分习题课()ddDQPIxyxy(,)d(,)dLPxyxQxyy6对坐标的曲面积分的计算法解法有三种1.利用高斯公式)1(vzRyQxPd)(yxRxzQzyPdddddd闭曲面具有则取其中外侧.在若RQP,,中所围成的空间域一阶连续偏导数,第十章曲线积分与曲面积分习题课7)2(,,,比较复杂非闭而若RQP在RQP,,后加面)(为闭中所构成的空间域具有一阶连续偏导数,则I1.利用高斯公式第十章曲线积分与曲面积分习题课82.通过投影化为二重积分yxzyxRxzzyxQzyzyxPIdd),,(dd),,(dd),,(yzDzyzyzyxPdd),),,((zxDxzzxzyxQdd)),,(,(xyDyxyxzyxRdd)),(,,(注意的确定!第十章曲线积分与曲面积分习题课93.向量的点积法yxRxzQzyPIddddddSnAd0)dd,dd,dd(),,(yxxzzyRQP面投影在将xOyyxzzSyxdd1d22)1,,(yxzz的法向量为,1)1,,(220yxyxzzzzn),(yxfz的方程为设曲面yxzzRQPyxdd)1,,(),,(xyD的侧与若题设中曲面,)1,,(相同yxzz.,否则取取规定第十章曲线积分与曲面积分习题课(,,)(,,1)ddxyPQRzzxy10面投影在将zOy,面投影在将zOx注,面上的投影为一个区域在若曲面xOy则用方法(3)简便;RQP,,若以及它们的一阶偏导数不连续的情况下,则用方法(2)处理;RQP,,若具有一阶连续偏导数,用方法(1)即用高斯公式.第十章曲线积分与曲面积分习题课11xyzO,dddddd2yxzxzxzyyI计算例解利用向量点积法22yxxzxn22yxyzy为其中所截部分的被平面锥面2,122zzyxz外侧.)1,,(yxzz法向量为22yxz12第十章曲线积分与曲面积分习题课1221220ddrrr215yxzdd2xyDyxyxdd)(2241:22yxDxyyxyxyyxxzxyIdd1,,),,(22222yxzzRQPxOyyxdd)1,(),,(,面上投影在将22yxz第十章曲线积分与曲面积分习题课13,dd]),,([dd]),,(2[dd]),,([yxzzyxfxzyzyxfzyxzyxfI计算例解利用两类曲面积分之间的关系的法向量为,31cos)1,1,1(n,31cos31cos,),,(为连续函数其中zyxf在第四卦限部分的为平面1zyx上侧.zxyO11114]),,([{xzyxfISzyxd)(31xyDyxdd313121Sd1311:zyx]}),,([]),,(2[zzyxfyzyxfxzyzyxfzyxzyxfIdd]),,(2[dd]),,([yxzzyxfdd]),,([313131SdxyO11第十章曲线积分与曲面积分习题课d111dd3ddSxyxy15,确定常数,),(的梯度为某二元函数yxu例上的向量使在右半平面0x).,(yxu并求分析令jyxxiyxxyyxA)()(2),(24224)(2),(24yxxyyxP)(),(242yxxyxQ如果存在二元函数),,(yxu使得),(gradyxujyxQiyxP),(),(则必有,yPxQ1998年研究生考题,计算(6分)由此确定,用线积分或不定积分求).,(yxu第十章曲线积分与曲面积分习题课16解xQ,)(2),(24yxxyyxP)(),(242yxxyxQ124524)(4)(2yxxyxxyP124224)(4)(2yxxyyxx令两者相等得0)1()(424yxx1即,224yxxyP242yxxQ以下用两种方法求).,(yxu第十章曲线积分与曲面积分习题课17xyO,224yxxyP242yxxQ),(yxuyyxxxyxxyyxdd2242),()0,1(24xyxxxd02124yxyxy0222d112arctanxy),(yx(1,0)(x,0)yyxxyd0242,arctan2Cxy法一在右半平面内任取一点作为积分路径的起点,)0,1(可得用曲线积分的一般表达式是),(yxuC为任意常数.第十章曲线积分与曲面积分习题课18法二用不定积分因为yQxPyyuxxuuddddd,224yxxyP242yxxQ242yxxyu所以),(yxuduyy242dxyxy2221d1yxyx)(arctan2xfxy另一方面,由于),(yxPxu242yxxy)(arctan2xfxyx242yxxy第十章曲线积分与曲面积分习题课19)(arctan2xfxyx242yxxy由此得到0)(xf从而Cxf)(Cxyyxu2arctan),()(arctan),(2xfxyyxu第十章曲线积分与曲面积分习题课201999年研究生考题,计算,7分,122222的上半部分为椭球面设zyxS,Π,),,(处的切平面在点为点PSSzyxP,Π)0,0,0(的距离到平面为点O解,),,(上任意一点为设ZYX的方程为则得出122zZyYxX由点到平面的距离公式,得例),,(zyx.d),,(SzyxzS求222441),,(zyxzyx第十章曲线积分与曲面积分习题课2122122yxz由,221222yxxxz221222yxyyzyxyzxzSdd1d22得yxyxyxdd221242222第十章曲线积分与曲面积分习题课22所以SzyxzSd),,(xyDyxyxdd)4(41222220013d(4)d42rrr122:22yxDxyyxyxyxSdd22124d2222222441),,(zyxzyx第十章曲线积分与曲面积分习题课23作业总习题十(第184页)3.(1)(5)(6)4.(2)(4)(5)5.6.8.9.10.第十章曲线积分与曲面积分习题课