大学课件 高等数学 全微分

1全微分的定义可微的条件小结思考题作业totaldifferentiation第三节全微分第八章多元函数微分法及其应用2函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时全微分3先来介绍全增量的概念),(yxfz设二元函数,时、增量yx),(),(yxfyyxxfz的在点称为),(),(yxyxf为了引进全微分的定义,全增量.处分别有在点、当变量),(yxyx域内有定义,函数取得的增量全增量.全微分一、全微分的定义(,)Pxy在点的某邻4全微分的定义的全增量在点如果函数),(),(yxyxfz),(oyBxAz,有关、仅与、其中yxBA,)()(22yxyBxA,yx、(,)(,)zfxyxy在点处处的全微分.全微分可表示为),(yxfz可微分,在点),(yx则称称为函数记作,dz即.dyBxAz函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于(,)(,)zfxxyyfxy5可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数注yxz与是d.1之差是比与zzd.2yBxAzd全微分有类似一元函数微分的)(oyBxAzA=?B=?两个性质:全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.61.可微分的必要条件由下面的定理来回答：.dyyzxxzz(可微必可导).定理1(可微必要条件)如果函数在点),(yxfz的则该函数在点),(yx可微分,),(yx,必存在且函数),(yxfz),(yx在点的全微分为yzxz、偏导数全微分二、可微的条件7证)(oyBxAz总成立,),()0,(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0xz同理可得.yzB时，当0y上式仍成立,此时|,|xPyyxxP),(的某个邻域如果函数),(),(yxPyxfz在点可微分,全微分yyzxxzzd),(),(yxyxfz在点如果函数则该函数可微分,),(yxfz且函数,必存在、偏导数yzxz的在点),(yx的全微分为在点),(yx8都不能保证函数在该点连续.多元函数在某点可微是否保证事实上,)(oyBxAz显然,答:由全微分的定义有可得z0lim0多元函数可微必连续连续的定义不连续的函数上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续如果函数),(),(yxyxfz在点可微分,则函数在该点连续.)(lim0oyBxA一定是不可微的.全微分9多元函数的各偏导数存在全微分存在．如，.000),(222222yxyxyxxyyxf下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在微分存在．回忆:一元函数的可导与可微的关系?但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)0)0,0()0,0(yxff由定理1知,)0,0(处有在点全微分10])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx则22)()(yxyx22)()(xxxx,21])0,0()0,0([yfxfzyx处有在点)0,0(说明它不能随着0而趋于0,,0时当因此,.)0,0(处不可微函数在点如果考虑点),(yxP沿直线xy趋近于),0,0(全微分),(o.000),(222222yxyxyxxyyxf11说明各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的.多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原则区别.现再假定函数的则可证明全微分各个偏导数连续,12),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf2.可微分的充分条件证)],,(),([yxfyyxf在该点的某一邻域内必存在的意思.定理2的如果函数),(yxfz,),(连续在、yxyzxz.可微分(今后常这样理解).用拉氏定理(微分充分条件)假定偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数),(yx则该函数在点全微分偏导数13),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1xxyxfx1),(11),(),(.),(),(yxfyyxxfyxyxfxxx令连续在点由)0,0(01yx其中全微分14xxyxfx1),(yyyxfy2),(zyx21,00故函数),(yxfz在点),(yx处可微.同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfy全微分xyxfx),(x1yyxfy),(y221,0,02时当y]),(),([yyxfxyxfzyxyx2115在原点(0,0)可微.yzxz,并非必要条件.如0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0xxxx220)(1sin)(lim事实上,注定理2的条件(即两个偏导数在点连续)可微的充分0全微分),(yx仅是函数在点),(yx),(yxfz条件,同样,0)0,0(yf16)0,0()0,0(fyxfz2222)()(1sin])()[(yxyx0lim))()((22yx全微分在原点(0,0)可微.0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数0)0,0(yf0)0,0(xf201sinlimz00])0,0()0,0([yfxfyx于是,])0,0()0,0([yfxfzyx)(o17即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.但是,yfxfzyx)0,0()0,0(d事实上,2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数偏导数在原点(0,0)不连续.全微分所以,0)0,0(yf0)0,0(xf特别是),(lim0xxfxx不存在.即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.极限,时当xy)21cos121sin2(lim220xxxxxfy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,,022时当yx函数在一点可微,此题说明:在这点偏导数不一定连续.0()0()xy18记全微分为.dddyyzxxzz.ddddzzuyyuxxuu通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.一元函数的许多微分性质,(一阶)全微分形式的不变性.同样有:习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理．这里仍适用.全微分),,,(zyxfu如三元函数则19解,2xyyexxz,xyxeyzyyzxxzzyxyxddd2121全微分例计算函数xyexz2在点)2,1(的全微分.所以.d)d1(222yexe20解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzyyzxxzzddd),4(),4(),4().74(82,,4),2cos(yxyxyz当求函数例.d,4d时的全微分yx全微分21答案.的全微分求zyxuud全微分yyxyzzdxyxyzzd1zyxyxzdln22全微分解例,322yxyxz设,96.23,05.22变到从变到从yx试比较zzd与的值.z])96.2(96.205.23)05.2[(22]33232[22zd)04.0(005.013.65.005.0)3,2(xz)04.0()3,2(yz,6449.023全微分解例计算02.2)04.1(的近似值.),(yxfz设利用函数yxyxf),(在点),(00yx处的可微性,可得02.2)04.1()02.2,04.1(f)2,1(f02.0004.021.08.1,yx)2,1(04.0x02.0yzf)2,1()2,1(fzdyfxfyx)2,1()2,1(24全微分2002年考研数学一,3分考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:选择题①f(x,y)在点(x0,y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用“”QP表示可由性质P推出性质Q,则有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.25下列处可微在点设二元函数,),(),(yxyxfz上海交大考题(95级)),(),,(),(),()(yxfyxfyxyxfByx处两个偏导数在点),(),,(),(),()(yxfyxfyxyxfDyx处两个偏导数在点连续.D全微分结论不正确的是().都存在,()(,)(,),Afxyxy在点处连续()(,)(,),Cfxyxy在点某邻域内有界26上海交大考题(98级))0,0(),(0)0,0(),(),(222yxyxyxyxyxf设函数).()0,0(点在,)(极限不存在A,)(不连续B,)(可微分C.)0,0(),0,0(.存在yxffDD全微分27上海交大考题(93级))(d),3(2zyxfz则全微分设)d3d6)(3(22yxxxyyxf上海交大考题(96级))(d,uxyuz则设函数zyxyyxzyxyzzzdlndd1全微分28上海交大考题(97级)是非题,0)0,0(,0)0,0(,||),(yxffxyyxf则可得设函数.)0,0(),(的全微分是零在点从而yxf(非)事实上,由偏导数定义可求得设函数,||xyz在点)0,0(处有,0)0,0(,0)0,0(yxff])0,0()0,0([yfxfzyx||yxyx0lim22200)()()(limxxxxyx||2||lim0xxx021全微分29全微分的定义全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别)全微分三、小结可微分的必要条件、可微分的充分条件30对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可导连续有极限对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续可微连续有极限有偏导全微分31全微分思考题1全微分公式yyzxxzzddd恒成立吗?不一定.0,00,),(222222yxyxyxxyyxf.)0,0(的情形在点考虑函数32全微分某城市的大气污染指数P取决于两个因素,即空气中固体废物的数量x和空气中有害气体的数量y.它们之间的关系可表示成).,0(42),(22yxxyxyxyxP(1)计算)5,10(xP和),5,10(yP并说明它们的实际意义.(2),105%,10不变不变或增长当xyx,%10时增长y该城