大学课件 高等数学 数量积 向量积 混合积

1数量积向量积*混合积两向量的数量积两向量的向量积*向量的混合积小结思考题作业第二节第七章空间解析几何与向量代数2cos||||sFWcos||||baba实例启示两向量作这样的运算,定义一、两向量的数量积1.定义数量积向量积*混合积一物体在常力作用下沿直线从点表示位移,F1M,2MsF力所作的功为移动到点的夹角与sF结果是一个向量的与ba数量积ba为的夹角与ba数量.3abcos||||babacos||bcos||a结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.babjaaPr||重要||PrababjabjaPrajbPr(两向量的数量积的几何意义)ajbbPr||数量积向量积*混合积||Prbbaajb4数量积也称为有：、对非零向量,ba注为锐角为钝角关于数量积的说明：.||2aaa,0aa证“点积”、“内积”.(1)(2);0ba.0bacos||||aacos||||baba.||2a(1)数量积向量积*混合积5)(,0ba,0||a,0||b,0cos,2.ba)(,ba,2,0cos.0cos||||baba证0ba.ba此时也称0,ijkij、、互相正交(2)ab与正交.例,0kj.0ik数量积向量积*混合积62.数量积符合下列运算规律（1）交换律：abba（2）分配律：cbcacba)(（3）若为数：ba)(若、为数：)()(ba(可用定义证).||)4(2aaa为记aa0,aa此外0a.2a)(ba)(ba)(ba数量积向量积*混合积7向量的数量积不满足消去律,向量的数量积是否满足消去律？,caba注.cb事实上,,caba.0)(cba是说,垂直与即acb.0cb未必注.)()(bacbac?平行于的向量cb≠平行于的向量0a即在一般情况下,数量积向量积*混合积8解,2||,5||ba若,3),(ba.32的模求bau注:.||3||2||bau分配律22|32|||bau)32()32(bababbabbaaa3323322222||912||4bbaa76293cos||||125422ba76||u例数量积向量积*混合积9用向量的数量积,证明恒等式:即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图).证2222||2||2||||bababa22||||baba)()()()(bababababbbaaabbbaaa2222||2||2ba数量积向量积*混合积abbaba10,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxkji0ikkjji1||||||kji1kkjjiizzyyxxbabababa数量积的坐标表达式3.用坐标表示式计算数量积分配律数量积向量积*混合积11cos||||baba||||cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式ba0zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为4.两向量的夹角(数量积在几何中的应用)数量积向量积*混合积数量积的物理意义为F力推动质点从点A沿直线运动到点B所作的功(即实例)WFAB12解ba)1(2)4()2(111.9cos)2(,21.43ajbbabPr||)3(.3||Prbbaajb数量积向量积*混合积例),2,2,1(),4,1,1(ba已知求.)3(;)2(;)1(上的投影在的夹角与bababa222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa13证cacbbca])()[(])()[(cacbcbca])[(cacacb0cacbbca])()[((由分配律)数量积向量积*混合积例证明向量c与向量垂直.acbbca)()(014下列命题是否正确错,错.对.3||)1(aaaa等式左边没意义.babaa2||)()2(222||||)()3(baba错.22||||)()()4(bababa数量积向量积*混合积15实例1.定义数量积向量积*混合积二、两向量的向量积设O为一根杠杆L的支点,有一个力作用于这杠杆上P点处.,对支点O的力矩是一向量,M它的模为F力F力FM的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系.与OP的夹角为sin||||FOPLQPOF||||||MOQF16定义关于向量积的说明：0)1(aa)0sin0(ba)2(//0ba)0,0(ba向量积也称为“叉积”、sin||||||bac大小“外积”.数量积向量积*混合积向量的与ba向量积bac为的夹角与ba的方向既垂直于又垂直于指向符合右手系.c,a,b方向172.向量积符合下列运算规律(2)分配律cba)((3)若为数ba)()(,0||a,0||b,0sin,,0)(或00sin||ba证ba//ba//;ab(1)反交换律0basin||||ba;cbca)(ba).(ba数量积向量积*混合积ba)2(//0ba)0,0(baba.018向量的向量积是否满足消去律向量的向量积是否满足交换律？向量的向量积不满足消去律,向量的向量积不满足交换律.向量积有明显的物理意义,P307例6.注,caba.cb注即在一般情况下,0a数量积向量积*混合积19,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxkji0kkjjiijikikjkijjkiijkkbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式3.用坐标表示式计算向量积分配律数量积向量积*混合积20向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjibaba//zzyyxxbababa由上式可推出zzyxbaaa000,0yxaa向量积的几何意义例数量积向量积*混合积不能同时为零,但允许两个为零.zyxbbb,,||ba表示以为邻边的平行四边形的面积.ba和ba//0ba0||basin||||basin||bab21下列命题是否正确错对bbaababa)()()1(0)(])[()2(baaba数量积向量积*混合积22解zyxzyxbbbaaakjibac211423kjikj51055510||22c||0ccckj5152数量积向量积*混合积,423kjiakjib2例求与都垂直的单位向量.23ABC解D)3,4,0(AC)0,5,4(AB三角形ABC的面积为||21ABACS22216121521225||AC5)3(422||21BDS||AC||521225BD5||BD数量积向量积*混合积例已知三角形的顶点),2,6,5(),2,1,1(BA),1,3,1(C计算从顶点B到边AC的高的长度BD.24求同时垂直于向量和x轴的单位向量.两种方法:法二)8,6,3(a法一解用向量积.设x轴为单位向量为n||nn222)6(80)6,8,0(53,54,0用数量积.即可得.ai.1||nia)0,0,1()8,6,3()6,8,0(提示用向量积或数量积.数量积向量积*混合积0n0n0n,0,00no(,,)xyznnnn设,i25分析即A、B、D三点共线.希自己再用法(2)证,试比较哪种方法简单?.三点共线、、试证DBA其方法有两种:∥)5(2ba证数量积向量积*混合积)(8,186,5baCDbaBCbaAB设用向量证三点共线只要证明ABBD(1)证BDAB(2)证ABBD0用法一AB2BDCDBC∥ABBD26定义][cbacba)(zyxzyxzyxcccbbbaaa,kajaiaazyxkbjbibbzyx设kcjcicczyx混合积的坐标表达式三、*向量的混合积设已知三个向量、、ab,c数量cba)(称为这个向量的记为].[cba混合积,数量积向量积*混合积27向量混合积的几何意义关于混合积的说明：][cbacba)(acb)(bac)(三向量a、b、c共面0][cbaabc(1)(2)(3)数量积向量积*混合积abcba向量的混合积][cbacba)(是这样的一个数,它的绝对值表示cba,,以向量为棱的平行六面体的体积.28解)()]()[(accbba)()][accbbbcabaccbcccacba)(0)()(acbaacaaba)(0)()(0cba)(cba)(2][2cba4例cba)(acb)(数量积向量积*混合积00000已知,2][cba计算).()]()[(accbba29解][61ADACABVABACAD数量积向量积*混合积),,(121212zzyyxx),,(131313zzyyxx),,(141414zzyyxx由立体几何知,四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体的体积的六分之一.ADACAB,,已知空间内不在一平面上的四点A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),求四面体例的体积.3014141413131312121