大学课件 高等数学 斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度

1第七节斯托克斯(stokes)公式环流量与旋度斯托克斯公式物理意义---环流量与旋度小结思考题作业circulationcurl斯托克斯Stokes,G.G.(1819–1903)英国数学家、物理学家第十章曲线积分与曲面积分2本节介绍空间曲面积分与曲线积分并同时介绍向量场的两个重要概念斯托克斯公式.环量与旋度.之间的关系斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度3一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理设的正向与的侧符合右手规则，),,,(),,,(zyxQzyxP函数在内的一个空间区域内在包含曲面),,(zyxRzRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度4即有SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos其中cos,cos,coszRyQxPddd方向余弦.是Σ指定一侧的法向量zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度5Γ的正向与Σ的侧符合右手规则:当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时,是有向曲面的正向边界曲线右手法则拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同.是有向曲面Σ的正向边界曲线.称Γ斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度n6斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度(3)在坐标面上,应用格林公式把(2)得到的平面闭曲线积分化为二重积分.因此斯托克斯公式是格林注证明思路(1)把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分;(2)把空间闭曲线Γ上的曲线积分化为坐标面上的闭曲线积分;分三步当Σ为xOy坐标面上的平面区域时,斯托克斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推广.yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd7RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos另一种形式)cos,cos,(cosn其中便于记忆形式zRyQxPdddzRyQxPdddzRyQxPddd斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度()dd()dd()ddRQPRQPyzzxxyyzzxxy8Stokes公式的实质表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度9解zyyxxzdddyxzzyxyxxzzydddddd法一按斯托克斯公式,计算曲线积分例,dddzyyxxz1zyx是平面其中被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.有yxxzzydddddd斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度xyzOnxyD11110xyO111yxyxxzzyddddddyxdd3.23.弦都为正的法向量的三个方向余).1,1,1(n213zyyxxzdddxyDcos)31coscosyxxzzydddddd的法向量(对称性1:zyx平面xyD斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度11按斯托克斯公式,zyyxxzdddSRQPzyxdcoscoscosSyxzzyxd313131Syxzzyxd11131Sd)111(31法二1:zyxyxSdd3dxyDyxdd323有斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度xyO111yxxyD12zxOy解则)1,1,1(31n计算曲线积分例zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223zyx是平面其中截立方体:,10x,10y10z的表面所得的截痕,若从Ox轴的正向看去,取逆时针方向.取Σ为平面23zyx的上侧被Γ所围成的部分.)1,0,0()0,0,1()0,1,0(Oxy11212123yx21yxxyDΣ在xOy面上的投影为.xyD斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度1311即31coscoscosSyxxzzyzyxId313131222222Szyxd)(34Sd2334xyDyxdd332.29)23(zyx上在yxSdd3dOxy212123yx21yxxyD斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度14kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(1.环流量的定义上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场AzRyQxPsdAdddcirculationcurl环流量.二、物理意义---环流量与旋度设向量场斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度A称为向量场沿曲线按所取方向的15sAd利用Stokes公式,zRyQxPdddRQPzyxyxxzzydddddd)d,d,d(d),,(zyxsRQPAyPxQxRzPzQyRRQPzyxkji,,环流量SRQPzyxkjid斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度dS(dd,dd,dd)yzzxxy16.)()()(kyPxQjxRzPizQyRRQPzyxkjiArot旋度2.旋度的定义).rot(ARQPzyxkji为向量场的旋度称向量斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度17.处的旋度RQPzyxkjiArot旋度42322yzyzxxzzyxkjikxyzjxziyxz43)22(224),1,2,1(P在点解例)1,2,1(22423PkyzjyzxixzA在求向量场斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度rot(2,3,8).A18斯托克斯公式的又一种形式其中的单位法向量为的单位切向量为SyPxQxRzPzQyRd]cos)(cos)(cos)[(sRQPd)coscoscos(kjincoscoscoskjitcoscoscos斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度19斯托克斯公式的向量形式stASnAddrotsASAtndd)rot(或其中cos)(cos)(cos)(rot)rot(yPxQxRzPzQyRnAAn斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度coscoscostAAtPQR20Stokes公式的物理解释sAtd的环流量等于沿有向闭曲线向量场A.所张的曲面的通量的旋度场通过向量场A环流量SdrotA斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度()的正向与的侧符合右手法则旋度为零向量的向量场称为无旋场或有势场或保守场.无源且无旋的场称为调和场.21斯托克斯Stokes公式斯托克斯公式的物理意义—环流量与旋度斯托克斯(stokes)公式环流量与旋度三、小结Stokes公式的实质表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.(注意使用的条件)22计算其中,drot0SnA),,3,2(2zxyA9222zyxΣ是球面(1)用对面积的曲面积分;(2)用对坐标的曲面积分;(3)用高斯公式;(4)用斯托克斯公式.斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度的上半部上侧,Γ是它的边界.思考题23解答232rotzxyzyxkjiA22222211,1,1yxyxyyxxzzzzzzzz(1)原式=Szzyxd1122yxzzzzyxDyxxydd1112222xyDyxdd.9SnAdrot0),3,2(2zxyA)1,0,0(斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度0(cos,cos,cos)n24(2)原式=yxdd9ddxyDyx(3)补平面原式=.9)dd(xyDyxSdcos12212211cos:,11cos:yxyxzzzz10dddvxy1ddyx斯托克斯(stokes)公式环流量与旋度SnAdrot0),3,2(2zxyA方向朝下,与Σ构成封闭曲面.0:1zSdcos1特别注意两类曲面积分的区别25将Γ写成参数方程:0,sin3,cos3zyx原式=zzyxxydd3d22原式=stASnAddrotsdA(4)边界曲线Γ:z=0平面内一圆,922yx202022dcos93dsin92.9斯托克斯(stokes)公式环流量与旋度),3,2(2zxyA由斯托克斯公式SnAdrot026作业习题10-7(183页)1.(1)(3)2.(1)(3)3.(1)4.(1)6.斯托克斯(stokes)公式环流量与旋度