大学课件 高等数学 微分方程习题

1第十二章微分方程习题课教学要求典型例题2一、教学要求1.了解微分方程、解、通解、初始条件和2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程3.会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,4.会用降阶法解下列方程:).,(),(),()(yyfyyxfyxfyn和第十二章微分方程习题课特解等概念.的解法.并从中领会用变量代换求解方程的思想,会解全微分方程.35.理解二阶线性微分方程解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,7.会求自由项形如:xPxPeexPnlxxmsincos)(、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题.第十二章微分方程习题课并了解高阶常系数线性微分方程的解法.4二、典型例题.d)cossin(d)sincos(yxyxxyyxxxyyxyxy例解原方程可化为),cossinsincos(ddxyxyxyxyxyxyxyxy第十二章微分方程习题课,xyu令.,uxuyuxy求通解齐次方程,cossinsincosuuuuuuuuxu分离变量代入原方程得5,cossinsincosuuuuuuuuxu,ddcos2cossinxxuuuuuu分离变量两边积分,lnln)cosln(2Cxuu,cos2xCuu,cos2xCxyxy所求通解为.cosCxyxy第十二章微分方程习题课6.0d3d24223yyxyxyx求通解例解)2(3yxyyP,64yx)3(422yxyxxQ,64yx)0(y,xQyP方程为全微分方程.第十二章微分方程习题课7(1)利用原函数法求解:,2),,(3yxxuyxu则设原函数为),(),(32yyxyxu,求导两边对y42231yxyyu,1)(2yy解得,1)(yy故方程的通解为.132Cyyx.0324223dyyxydxyx求通解第十二章微分方程习题课),(342yyx8(2)利用分项组合法求解:原方程重新组合为,0)1(d)(d32yyx即得)d3d2(423yyxxyx故方程的通解为.132Cyyx.0d3d24223yyxyxyx求通解第十二章微分方程习题课yyd1209Oxy(3)利用曲线积分求解:,d3d2422),()1,0(3Cyyxyxyxyxxxx03d12即yyx121故方程的通解为.132Cyyx.0d3d24223yyxyxyx求通解·(0,1)(x,y)·第十二章微分方程习题课yyyxy1422d3C.132Cyxy10.0d)2(d)2(2222yxyxxyyx例解,22yyP,22xxQ,xQyP非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为),dd(2)dd)((22yxxyyxyx第十二章微分方程习题课求通解,1),(22yxyx22dd2ddyxyxxyyx11,)(1)(d22xyxyyx故方程的通解为.yxyxCeyx第十二章微分方程习题课221),(yxyx,ln11ln21)1(2Cxyxy22dd2ddyxyxxyyx12.212yyy求通解例解.x方程不显含,Py令代入方程,得,21dd2yPyPP,112yCP解得，,11yCP,1dd1yCxy即故方程的通解为.12211CxyCC第十二章微分方程习题课,ddyPPy13求以为通解的微分方程.由通解式可知特征方程的根为故特征方程为即因此微分方程为第十二章微分方程习题课例解14且满足方程,d)()(sin)(0xttftxxxf求).(xf提示xxttftttfxxxf00d)(d)(sin)(上式两边对x求导两次:xxfcos)()(sin)(xfxxfxttf0d)()(xfx)(xfx因此问题化为解下列初值问题xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f解得第十二章微分方程习题课例00000000二阶可导,15另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的求链条滑下来所需的时间.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,第十二章微分方程习题课例摩擦力,xOx解设在时刻t,链条较长一段下垂xm,又设链条线密度为常数,此时链条Fgxgx)20(由牛顿第二定律maF得建立坐标系如图.受力tx22dd20gx)10(2,120tx0dd0ttx二阶常系数线性非齐次方程2(10)xg16由初始条件得故解得,0(t舍去另一根)当x=20m时,(s)第十二章微分方程习题课二阶常系数线性非齐次方程,120tx0dd0ttx求链条滑下来所需的时间.17.1)1()1(,2yyexeyyyxx例解特征方程,0122rr特征根,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY设非齐次方程的特解为第十二章微分方程习题课求特解xex)1(,21,61ba代入原方程比较系数得非齐次方程的一个特解为,2623xxexexy原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy2()xyxaxbe,(),()yyy将18原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy第十二章微分方程习题课1)1()1(yy,1)1(y,1)652(21eCC解得,6121eC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey,1212eC19).2cos(214xxyy求解方程例解特征方程,042r特征根,22,1ir对应的齐次方程的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为,)(1ay则,0)(1y得代入,214xyy，xbax2144第十二章微分方程习题课由，04b,214a解得，0b，81a;811xy12.yyy1(1),yaxb设20xy8112)2(y设,2sin)2(2cos)2()(2xcxdxdxcy则,2sin)44(2cos)44()(2xdxcxcxdy得代入,2cos214xyy第十二章微分方程习题课),2sin2cos(xdxcx特征根,22,1ir,2cos212sin42cos4xxcxd由，04c，214d即，81d，0c;2sin812xxy故原方程的通解为y对应的齐次方程的通解为xCxCY2sin2cos21xCxC2sin2cos21x81.2sin81xx14(cos2)2yyxx21作业总习题十二(326页)3.(2)(4)(6)(9)(10)4.(3)(4)5.第十二章微分方程习题课6.7.8.9.