大学课件 高等数学 无穷级数 习题

1例题习题课教学要求第十一章无穷级数infiniteseries2一、教学要求1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,2.掌握几何级数和p–级数的收敛性.数的比值审敛法.4.了解交错级数的莱布尼茨定理,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件.3.了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级错级数的截断误差.会估计交第十一章无穷级数习题课36.了解函数项级数的收敛域及和函数的7.掌握幂级数收敛区间的求法.8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.概念.本性质.第十一章无穷级数习题课4)1(),1ln(,cos,sin,xxxxex9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10.会利用的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数.11.了解幂级数在近似计算上的简单应用.第十一章无穷级数习题课5并会将定义在12.了解函数展开为傅里叶级数的狄里克),(),(ll会将定义在雷条件,展开为傅氏级数,上的函数展开为正弦或余弦级数.上的函数和),0(l),,0(第十一章无穷级数习题课6二、典型例题判断级数敛散性例解nnnnu)1(nnnn)11(21nnnn1;)1()1(11nnnnnnnnnn)11(lim2nnnn12])11[(lim210e分母第十一章无穷级数习题课7xxx1lim10e1limnnu根据级数收敛的必要条件，级数分子1lim1nnn01)11(lim2nnnnnnnnnnu)1(1nnnn)11(21分母发散．11)1()1(nnnnnnn第十一章无穷级数习题课8正解从而有1a当级数10a当级数1)0()1()2ln()2(nnanan,110时即a,11时即annulimnnann1)2ln(limn)2ln(lim1nann)2ln(limnnn,1nnulimna1收敛；发散;第十一章无穷级数习题课9,1时当a原级数为nnnn)11()2ln(lim所以,原级数也1)1()2ln(nnnan1)11()2ln(nnnn发散．第十一章无穷级数习题课10例解nnnln11lim11nn而1ln)1(nnnn即原级数11ln1ln)1(nnnnnnnnnnln1lim1ln1nnnnnnnlnlim1敛？是否收判断级数1ln)1(nnnn如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?n1发散,发散非绝对收敛．第十一章无穷级数习题课11由莱布尼茨定理)0(ln)(xxxxfxxf11)(,),1(上单增在单减即xxln11ln)1(nnnn是交错级数,0)1(x敛？是否收判断级数1ln)1(nnnn(1)1)1ln()1(1nunnnnln1故时单减当1n)1(nnnunln1第十一章无穷级数习题课12所以此交错级数收敛，故原级数是敛？是否收判断级数1ln)1(nnnn)0lnlim(nnnnnunnnln1limlimnnnnln11lim0(2)条件收敛．第十一章无穷级数习题课13.)1)(1(0敛域及和函数收求级数nnxn例解0)1)(1(nnxn20x即0)1)(1()(nnxnxs两边逐项积分1R,111xxxsd)(x1011)1(nxnx01)1(nnx第十一章无穷级数习题课收敛半径为收敛域为设此级数的和函数为s(x),则有10(1)(1)dxnnnxx1401)1(nnx)1(11xxxx21得求导两边再对,x)21()(xxxs2)2(1x20xxxxs1d)(第十一章无穷级数习题课15)!12(2)1(12111nxnnnn将级数例解1121)!12()1(nnnnx11211)!12(2)1(nnnnnx2sin2x2sin21121)2()!12()1(2nnnxn)1(x分析的和函数展开xsin)1(x1第十一章无穷级数习题课的幂级数.是的展开式,设法用已知展开式来解.1621cos21sin2x21sin202)1()!2(2)1(21sin2nnnnxn),(21cos221sin21cos2x02)21()!2()1(nnnxn012)21()!12()1(nnnxn012)1()!12(2)1(21cosnnnnxn11211)!12(2)1(nnnnnx2)1(1sin2x第十一章无穷级数习题课17则此处可微在设幂级数,1)1(1xxannn).(2处级数在xB解,1时该级数当x,1)1(1处可微在由级数xxannn故知,1xy令可知例1988年研究生考题,选择,3分.)2(1收敛nnna第十一章无穷级数习题课A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定nnnya1幂级数绝对收敛.都的yy2|2|||对一切满足阿贝尔定理,1xy对,1,2yx时当nnnxa)1(,1幂级数所以绝对收敛.181998年北方交大考题,7分.,11||||11发散证明级数满足若数列nnnnnunuuu证由已知条件,11||||1nuunn知||1nu因此,||limnnu所以,.0limnnu由级数收敛的必要条件,.1发散级数nnu例,0||nu第十一章无穷级数习题课19则设级数,5,2)1(11211nnnnnaa1).(nna级数9)(8)(7)(3)(DCBAC解nnnaaaaa3211nnnnnaaaaa132111)1()1(12531112nnnaaaaa例1991年研究生考题,选择,3分2525281nna1122nnannna11)1(第十一章无穷级数习题课20例证明在区间上有恒等式,.412)cos()1(21221xnxnnn并求级数1211)1(nnn分析欲证之等式等价于12122)cos()1(124nnnxnx122)cos()1(43nnnxn这是要证明一个三角级数在指定区间内收敛于一函数.这是傅里叶级数的反问题.证明这类题的一般方法是将所给函数在指定区间内展成傅里叶级数,看它是否等于给定的级数.的和.第十一章无穷级数习题课2[,].x将在区间上展开成傅氏级数21202032d2xxa2024)1(d)cos(2nxnxxann得1222)cos(4)1(31nnnxnxx121)1(nnn得由于x2为偶函数,)2,1(,0nbn证故的和求1211)1(nnn12200第十一章无穷级数习题课22例求三角级数之和.0!cosnnnx解令,ixez考虑级数,!0znnenz0!nnnz0!cosnnnx0!)(nnn0!ninxnexixeixsincos欧拉(Euler)公式及zexecosxixesincosxixeesincos按实部与虚部分别相等的关系,即得0!cosnnnxx)cos(sincosxex0!sinnnnxiixe第十一章无穷级数习题课[cos(sin)sin(sin)]xix23例21)1(nnknn则级数,0k设常数)(解21)1(nnknn21)1(nknnnnn1)1(1绝对收敛条件收敛C第十一章无穷级数习题课A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛或发散与k的取值有关241990年研究生考题,选择,3分).)((,1sin12为常数级数annnanB解221sinnnna收敛且121nn收敛，12sinnnna,11发散而nn因而121sinnnnna由性质，发散.例第十一章无穷级数习题课A.绝对收敛B.发散C.条件收敛D.收敛性与a的取值有关251996年研究生考题,选择,3分则收敛设级数,)0(,1nnnaa).(2,0,tan)1(21nnnann级数绝对收敛.A条件收敛.B发散.C有关敛散性与.D解因为nnntanlimnnntanlimA所以nnann2tan)1(na22第十一章无穷级数习题课例26因为),2,1(02nan,1收敛且级数nna从而,212收敛级数nna故.tan)1(21绝对收敛级数nnnann,1收敛由于nna.21nnaaaS记.limSSnn则.,有界数列所以nSnnaaaW242nW数列且有界,nnWlim存在,.12收敛nna因而又记单调增加nS2,S第十一章无穷级数习题课27.)3(311的收敛域求幂级数nnnxn解,)3(31)(nnnxnxu由nnnnnxnxn)3(31)3(3)1(1lim11|3|)1(3limxnnn|3|31x,1|3|31x令).6,0(x即)()(lim1xuxunnn例1988年研究生考题,计算,5分第十一章无穷级数习题课得28内在开区间)6,0()3(311nnnxn时，当0x时，当6x的收敛域为因而nnnxn)3(311).6,0[nnn1)1(1,11nn第十一章无穷级数习题课处处收敛.收敛发散29例求幂级数的和函数.1121nnnxn解(1)求收敛域1limnnnaaR,211nn级数为发散,21)1(11nnn级数为收敛12)1(121limnnnnn2故级数的收敛域).2,2[时，当2x时，当2x第十一章无穷级数习题课30(2)求和函数s(x)设所求和函数为s(x),,21)(11nnnxnxs有11nn逐项求导21121x])([xxs112nnx21x21即)2,2[x)(xsxxnnnxn1211121nnnxnnx2第十一章无穷级数习题课31由牛–莱公式得)0(0)(sxxsxx0)2ln(xxxxs0d])([xxxd210)2ln(x21lnx2ln因此,)2,0()0,2[21ln1)(xxxxs当x=0时,显然有1121)(nnnxnxs)0(s总之,有1121nnnxn,21ln1xx)2,0()0,2[x210x第十一章无穷级数习题课1,2321996年研究生考题,计算,7分.2)1(122的和求级数nnn解222)1(1nnn,11)(22nnxnxs1Rnnxnnxs