大学课件 高等数学 正弦级数与余弦级数

1第八节正弦级数与余弦级数正弦级数或余弦级数2由奇函数与偶函数的积分性质系数的公式,易得下面的结论.和傅里叶nanb此时称傅里叶级数为nxbnnsin1即xnxxfandcos)(1),2,1,0(n0),2,1(nxnxxfbndsin)(120xnxxfdsin)(正弦级数,正弦级数和余弦级数(一)它的傅里叶系数为,)(2.1展成傅里叶级数时的奇函数当周期为xf3nb此时称傅里叶级数为nxaann10cos2即),2,1(n),2,1(nna0dcos)(2xnxxfxnxxfandcos)(1xnxxfbndsin)(10注将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数是非常有用的.是否有奇偶性,0a0d)(2xxf余弦级数,它的傅里叶系数为,)(2.2展成傅里叶级数时的偶函数当周期为xf4解所给函数满足狄利克雷充分条件.为周期的是以时2)()12(xfkx),2,1,0(,0nan奇函数2233xyO设f(x)是周期为的周期函数,它在例12上),[上的表达式为,)(xxf将f(x)展开成傅氏级数.f(x)的图形52)0()0(ff收敛于2)(,0),())12((xfkxx处收敛于在连续点0dsin)(2xnxxfbn0dsin2xnxx02]sincos[2nnxnnxxnncos21)1(2nn),2,1(n,),2,1,0()12(处不连续在点kkx6)3sin312sin21(sin2)(xxxxf11sin)1(2nnnxn),3,;(xxnxbnnsin1正弦级数1)1(2nnnb),2,1(n7上的使函数成为],[.1上有上的函数延拓到把],[],0[上的使函数成为],[.2奇延拓偶延拓两种:正弦级数.偶函数,奇函数,余弦级数;因而展开成因而展开成正弦级数和余弦级数(二)8上函数定义在],0[上函数延拓到一个周期],[数轴上函数按周期延拓到整个级数上的函数展开成傅立叶定义在],0[9上有定义.],0[作法3.F(x)可展开为傅氏级数,这个级数必定是)()(xfxF得到f(x)的正弦级数的展开式.上，在限制],0(.4x],((偶函数)的奇函数正弦级数(余弦级数)(余弦级数)满足收敛定理的条件1.f(x)在2.在开区间内补充定义,得到定义在上的函数F(x),),(使它成为在上)0,(10解(1)求正弦级数.进行对)(xf0dsin)1(2xnxx)coscos1(2nnn0nan22,5,3,1nn2,6,4,2n奇延拓,分别展开成正弦级数和余弦级数.)0(1)(xxxf将函数例211Oxy0dsin)(2xnxxfbn11(2)求余弦级数.0nb00d)1(2xxa20dcos)1(2xnxxan)1(cos22nn]5cos513cos31(cos412122xxxx注又可展成余弦级数,既可展成正弦级数,其傅氏级数不唯一.偶延拓,)0(xOxy1上有定义的函数,进行对)(xf],0[仅在12作业习题9-8(320页）3.