大学课件 工程数学 第1讲

对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。第一讲复数1.复数的概念2.代数运算3.共轭复数1.1.复数的概念复数的概念2.2.代数运算代数运算3.3.共轭共轭复数复数CH1§§11复数及其代数运算复数及其代数运算一般,任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。称为虚单位。其中ii,12•复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)0||22yxz•复数的模0)Im()Re(0,,,222111212121zzziyxziyxzyyxxzz其中•判断复数相等定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2))0(||||222211222212121zzyxyxizyyxxzzz2.代数运算••四则运算四则运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.•运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，••共轭复数的性质共轭复数的性质2121)()1(zzzz2121)(zzzz2121)(zzzzzz)2(21,(0)||zzzz2222)Im()Re()3(yxzzzz)Im(2)Re(2)4(zizzzzz3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate)。.,)(,,43,55:1212121虚部及它们的实部求设例zzzziziz211222:||zzzzz解411:2ii求例34(55)25ii3557255ii11:(1)12iiii解441=11iii故2,2ii2121213.zz例证明(1)z+zz=2Re(z)22221212122zzzzzz(2)2112z证z+zz=2211zzz+z21z=2Re(z)证等式左边12121212zzzzzzzz=12121212zzzzzzzz1112212211122122zzzzzzzzzzzzzzzz112222zzzz=右边1.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法1.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法§2复数的表示方法1.点的表示),,(yxiyxz一对有序实数易见，(,)(,)Pxyxy在平面上取定直角坐标系，则任意点一对有序实数此时，表示的点，可用平面上坐标为复数.)(Pyxiyxz平面复平面或—平面虚轴—轴实轴—轴zyx)(yxPiyxz，复平面上的点点的表示：数z与点z同义.(,)zxiyPxy平面上的点(){,}zxiyPxyOPxy点，2.向量表示法00OPzzyxrOPzArg:,||||22记作辐角模：oxy(z)P(x,y)rzxy,?OP以正实轴为始边以向量为终边的角的弧度数zxiy称向量的长度为复数的模或绝对值；.()zxiyz0称为复数的辐角时.OPzxiy可用向量表示辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，xyzz/)Argtan(0时，0把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。z=0时，辐角不确定。0,00,0arctan0,02,0arctanargyxyxxyyxRyxxyz计算argz(z≠0)的公式当z落于一,四象限时，不变。当z落于第二象限时，加。当z落于第三象限时，减。2arctan2xyoxy(z)z1z2z1+z2z2-z112121212)(:zzzzzzzz三角不等式由此得由向量表示法知之间的距离与点—2112zzzz3.三角表示法)sin(cosirz得由sincosryrx4.指数表示法得公式再由sincos:ieEuleriirez注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.ππ例3.将z=sin+icos化为三角形式与指数形式.55π-2i-i2例2.求(1)e(2)3e(3)e的模,辐角.12例1.求(1)1+i(2)i(3)-3(4)(-1-3i)的模,辐角及辐角主值.引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例4用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)（-∞t+∞）2)()2(izxy(z)O(0,-1)2例5方程表示什么图形？3)Re(zizxiy设解3)Re(zi()izixiyyixRe()3izyyRe()3iz故图形为平行于实轴的直线总结2.复数的表示方法(4种)1.1.复数的代数运算及复数的代数运算及共轭复数共轭复数的性质的性质掌握1.复数的模、幅角、辐角主值的计算；2.复数的表示方法极其相互转化1.复数的乘积与商2.复数的乘幂3.复数的方根1.复数的复数的乘积与商乘积与商2.2.复数的复数的乘幂乘幂3.3.复数的复数的方根方根§§33复数的复数的乘幂乘幂与与方根方根定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，(1)Arg(z1z2)=Argz1+Argz2(2)几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n个复数的乘积。1oxy(z)1z2z1z22z2izzizz2121,,1.1则设例,2,1,021mmArgz,2,1,0222nnArgz,2,1,022)(21kkzzArgknm22223代入上式要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明)(121212ierrzzzArgz=Argz2-Argz1即：由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）212211,iierzerz设设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。innnerz由定义得2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）。.1nnzz定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(DeMoivre)公式。问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω。nz记,,zeni由设iinnree有)(2,Zkknrn3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，nznkinnerz2)2sin2(cosnkinkrn()kZ2()kinnnzrekZ当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，这些根又会重复出现。)2sin2(cosnkinkrn(0,1,2,...22(cossi,1)n)nnkkkwzrinnn故几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。nznr（见图）如)3,2,1,0()424sin424(cos2184kkikikxyo0123822i131:2求例).2,1,0(,320sin320cos13kkik0sin0cos1:i解.2321,2321,1210ii即31?实数范围下的1.区域的概念2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域1.区域的概念2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域§4区域1.区域的概念1.邻域复平面上以z0为中心，任意δ0为半径的圆|z-z0|δ(或0|z–z0|δ)内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域。记为Ｕ(z0,δ)即，)),((0zU})0{),((00zzzzU}{),(00zzzzU设G是一平面上点集内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点。0z开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集。.的折线连接属于中任意两点均可用完全DD连通是指2.区域设D是一个开集，且D是连通的，称D是一个区域。区域边界与边界点已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；0z内点外点D的所有边界点组成D的边界。1z2zPD有界区域与无界区域若存在R0,对任意z∈D,均有|z|R，则D是有界区域；否则无界。3.闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域,.D记为00:,.zzrzr表示以为圆点以为半径的圆内所有的点.x