大学课件 工程数学 第8讲

第八讲留数1.定义2.分类3.性质4.零点与极点的关系§5.1孤立奇点1.定义例如zezf1)(----z=0为孤立奇点zzf1sin1)(----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点1()(1)(2)fzzz----z=1,z=2为孤立奇点定义.)(,0,)(0000的孤立奇点为则称内解析的某个去心邻域但在处不解析在若zfzzzzzzf~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的。的奇点存在，总有邻域内不论多么小的去心在但)(,0,01limzfznn的孤立奇点。不是故zz1sin102.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：)!12()1(!5!31sin)1(242nzzzzznn特点：没有负幂次项!!211!!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特点：只有有限多个负幂次项nznzzez!1!211)3(211特点：有无穷多个负幂次项定义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数00)()()(nnnzzczfi没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;)1,0()()()(0mczzczfiimmnnn只有有限多个负幂次项，称z=z0为m级极点;nnnzzczfiii)()()(0有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性质.)()(000解析在补充定义：zzfczf000)(lim)()(0czfzzczfzznnn若z0为f(z)的可去奇点0()()()0,1mnnnmzmfzzcc若z0为f(z)的m(m1)级极点001()lim(()))(zmzffzgzzzzsin(),zfzz例如：0lim()1zfz故z=0为f(z)的可去奇点。00:()()0.gzzgz其中在处解析且例如：类似，z=i也是f(z)的一级极点.241(1)()(1)(1)fzzz41()()(1)ziziz孤立奇点:z=1,z=i.故z=1为四级极点.故z=-i为一级极点.4111()=()()()(1)()fzgzzizizzi因，()()0gzigi其中在处解析且424111()=()(1)(+1)(1)fzhzzzz又，()1)01(zhh其中在处解析且注意z=1为f(z)的一个三级极点而不是四级.类似，z=i也是f(z)的一级极点.孤立奇点:z=1,z=i.故z=-i为一级极点,(1)0.h若是四级，不符合条件3121()=()()()(1)()zfzgzzizizzi因，()0(,)gzigi其中在-处解-析且22432(2)()(1)(1)zzfzzz4(1)(2)()()(1)zzziziz32()()(1)zziziz323121()=()(1)(+1)(1)zfzhzzzz又，()1()10,zhh其中在处解析且故z=1为三级极点.0()lim()zzfzfz的洛朗级数有无穷多项负幂次项不存在，也不为若z0为f(z)的本性奇点4.零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成)()()(0zzzzfmNmzzz,)(,0)(00点解析在其中：则称z=z0为f(z)的m级零点。与三级零点。的一级分别是与3)1()(10zzzfzz例如：0)()()(0000zczzcznnn),)(,0)((00Nmzzz点解析在.0)()1,,2,1,0(0)()()()(0)(0)(0zfmnzfzzzzfmnm定理事实上，必要性得证！00)()(nmnnzzczf0!)(),1,,2,1,0(0)(:00)(0)(cmzfmnzfTaylormn而级数的系数公式有由充分性略！的零点。均为与3)1()(10zzzfzz例如zzzzf6)1(6)1(12)('''23)1(3)1()('zzzzf又0)1('f)1(6)1(6)(2zzzzf为一级零点00)1()0('3zf为三级零点1z06)1('''f0)1(''f001().()zfzmzmfz若是的级极点是的级零点定理:证明)()(1)(0zgzzzfm“”若z0为f(z)的m级极点0)(,)(00zgzzg且解析在)()()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm.0)(,)(00zhzzh且解析在，令0)(1,0)(1lim00zfzfzz.)(10级零点的是则mzfz则级零点的是”若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm.0)(,)(00zzz且解析在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm时，当.0)(,)(00zzz且解析在.)(0级极点的是mzfz例1：故z=1为f(z)的一个三级极点。故z=i为一级极点。22432()(1)(1)zzfzzz4(1)(2)()()(1)zzziziz32()()(1)zziziz41(1)()()()2zzizizifzz解：均为的一级零点,31()()1(1)()2zizizzfzz又为的三级零点,2()(1)(1)zzfzze求的奇点，如果是极点指出它的级。例2解显然，z=i是(1+z2)的一级零点10,1zzee即(21)(21)(1)'zzzikzikee的一级零点是zkekkiz1),2,1,0()12((1)(2)(21)zLnikki(21)0,1,2,kzkik故奇点为：[cos(21)sin(21)]0kik.)(),2,1()12(;)(一级极点的为的二级极点为zfkkizzfizk综合11)()5(23zzzzfzzzfsin1)()6(11)()7(zezf233(1)(2)(8)()sinzzfzz2211)()3(zzzf3sin)()4(zzzf级数。如果是极点，指出它的孤立奇点，奇点类型，练习：考察下列函数的)1(1)()1(2zezzfzzzf)1ln()()2(1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则§5.2留数(Residue)1.留数的定义rzzzzczfnnn000,)()(设cciczzdzcdzzfc1012)(逐项积分得：线对上式两边沿简单闭曲),)((00在其内部包含的孤立奇点是zczfz的奇点所围成的区域内含有未必为所围成的区域内解析在)(0)(0)(zfcczfdzzfc定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留数定义,Res[f(z),z0]=c–1(1))2()(21]),([Re10dzzficzzfsc故2.留数定理)3(]),([Re2)(,)(,,,,,)(,121nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc则上解析内及在除此以外有限个孤立奇点内有在函数是一条简单闭曲线设定理,),2,1(,围绕内孤立奇点将曲线互不相交的正向简单闭用互不包含kkzcnkc证明Dcznz1z3z2nkknkcczzfsdzzfidzzfik11]),([Re)(21)(21nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由复合闭路定理得：用2i除上式两边得:nkkczzfsidzzf1]),([Re2)(故得证！求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。一般求Res[f(z),z0]是采用将f(z)在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c–1的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。0]),([Re0)(010zzfsczzi为可去奇点若以下就三类孤立奇点进行讨论：3.留数的计算规则规则有以下几条为极点时，求若]),([Re)(00zzfszziii规则I)4()()(lim]),([Re,)(0000zfzzzzfszfzzz的一级极点是若级极点的是若mzfz)(0规则II)5()()(lim)!1(1]),([Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz1000]),([Re)()()(czzfszzczfzziinn展开为本性奇点若事实上，由条件)0(,)()()()()(0101012020mmmczzcczzczzczzczf得乘上式两边以,)(0mzzmmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(001010101010011{()()}(1)!!()mmmmdzzfzmcmczzdz两边求阶导数得.)5(,)!1()()(lim10110式移项得cmzfzzdzdmmmzz当m=1时，式(5)即为式(4).)6()(')(]),([Re,)(0)(',0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf且的一级极点是处解析在设规则III事实上，,)(1,)(0)('0)(0000的一级极点为从而的一级零点为及zQzzQzzQzQ0)()()(1)(1,000zzzzzzzQ处解析且在因此),0)(,)()()(()(1)(000zgzzPzzgzgzzzf且解析在故000Re[(),]lim()()zzsfzzzzfz由规则级极点的为则,)(0zfz000()lim()()zzQPzzzzQz00()'()PzQz得证！00,'())00(QzQz22)1(25:zdzzzz计算例1解102)1(25)(2zzzzzzzf和一个二级极点极点的内部有一个一级在由规则II由规则22lim)'25(lim211zzzzz0]1),([Re2]0),([Re2)(2zfsizfsidzzfz0lim()zzfzRe[(),0]sfz2052lim2(1)zzz221152lim{(1)}(21)!(1)zdzzdzzzRe[(),1]sfz2:14zcdzzzc正向计算例2解内，都在圆周个一级极点有cizf,1:4)(23414)(')(zzzzQzP由规则41czdzz故1111204444i2{Re[(),1]Re[(),1]Re[(),]Re[(),]}isfzsfzsfzisfzi13coszdzzz计算例3解的三级极点有一个0cos)(3zzzzf31cos2Re[(),0]zzdzisfzz23201Re[(),0]lim[()](31)!zdsfzzfzdz由规则01lim(cos)''2zz1212()2ii