大学课件 工程数学 第9讲

1第三节留数在定积分计算上的应用一、形如的积分2π0(cos,sin)dR()dRxx二、形如的积分()d(0)aixRxexa三、形如的积分2一、形如的积分π20d)sin,(cosR思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条3形如ize令ddiiez,ddizz)(21siniieei,212izz)(21cosiiee,212zz当历经变程]π2,0[时,π20d)sin,(cosR1z的正方向绕行一周.z沿单位圆周4d)sin,(cosπ20RizzizzzzRzd21,21122zzfzd)(1z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点..),(Resπ21nkkzzfi5例1计算积分)0(dcossinπ202baba解,iez令则,21sin2ziz,21cos2zz,ddiiezizzzzbazzbazd2114)1(dcossin21222π20212222d)2(2)1(zzbazbzizzddd,izzieiz62222π2π2bbaba).(2222baab122222222d)1(zbbaazbbaazbizzzbbaazfzfi)(),(Res0),(Resπ2227例2计算).0(sindπ02axax解π0π0222cos1dsindxaxxaxπ022cos12d21xax,2tx令π202cos1d21tatizzzzazd22)1(112112.1)12(2d212zzazzi81)12(1221aaz极点为:π02sindxax所以.1)12(π22a(在单位圆内)1)12(1222aaz(在单位圆外))].11212(),(Res[2π22aazfii9例3.)10(dcos21cos22π02的值计算pppI解,10p由于)cos1(2)1(cos2122pppp内不为零，在π20故积分有意义.)(212cos22iiee由于),(2122zzizzpzzpzzIzd221122112210izzpzzpzzIzd2211221122zpzpzizzzd))(1(21124,1,,0ppz被积函数的三个极点内，在圆周1,,0zpz为一级极点，为二级极点，且pzz0.d)(1zzfz11上被积函数无奇点，所以在圆周1z))(1(21ddlim]0),([Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz,2122ipp12,)1(21224pipp))(1(21)(lim]),([Res24pzpzizzpzpzfpz)1(2121π222222pippippiI.1π222pp因此13xxRd)(若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设2,)(1111nmbzbzazazzRmmmnnn分析可先讨论,d)(RRxxR最后令R即可.二、形如的积分142.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))RRxxRd)(Czzfd)(可取f(z)=R(z).15xy0R.R.这里可补线RC(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)RC与RR,一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.RCkz16根据留数定理得:RCkRRzzRizzRxxR],),(Res[π2d)(d)(mmnnnmzbzbzazazzR1111111)(mmnnnmzbzbzazaz1111111(:()d0,()d()d).RRCRRRzzRzzRzz可证当]),(Res[π2d)(kzzRizzR所以事实上，17，因为2nmmmnnnmzbzbzazazzR1111111)(所以22zszRzzRRRCCd)(d)(RR22,π2R:()d0.RCRRzz故当当充分大时,总可使z,10111nnzaza,10111mmzbzb18例4计算积分),0,0()()(d22222bababxaxx)()(1)(22222bzazzR解在上半平面有二级极点,aiz.biz一级极点,)(21222babi]),(Res[aizR2222221lim()()()zaizaizazb19,)(43222322abiaab]}),([Res]),([Res{π2aizRbizRi.)(2π)2(23bababa222222322)(21)(432abbiabiaabi]),(Res[bizR)()(d22222bxaxx所以222221lim()()()zbizbizazb20xy0R.R.)0(d)(axexRaix积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上无孤立奇点.RC与RR,曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点kz包在这积分路线内.同前一型:补线RC一起构成封闭都三、形如的积分RC21sezRzezRaizCCaizRRd)(d)(seRRCiyxaid2)(对于充分大的,且时,有z1nmzzR2)(sin,cosRyRx令zsdd)(Redi.dR)sin(cosiRz则π0seRRCiyxaid2)(seeRayCaxiRd2d2π0sinaRe22).1(2aReaR,d42π0)π2(aRed42π0sinaRed42π0sinaReoyπ2ysiny2R0从而.0)1(π2d)(aRCaizeaRzezRR.0d)(zezRaizCR23zezRxexRaizCRRaixRd)(d)(],)(Res[π2kaizzezRi由留数定理::R故当],)(Res[π2d)(kaizaixzezRixexRaxiaxeiaxsincosxaxxRixaxxRdsin)(dcos)(.],)(Res[π2kaizzezRi(:()d0,()d()d)RRaizaixaizCRRRzezRxezRzez可证当24例5计算积分.0,0,d)(sin0222amxaxmxx解xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin222022xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二级极点222(),()imzzfzeza,aiz又25xeaxximxd)(222则Res((),)fzai,4maeam)),((Res2Im21aizfi.4maeam2Res(),ifzaixaxmxxd)(sin0222所以注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇点.2222lim()()imzzaizzaieza2,4maimea26.dsin21dsin0xxxxxx例6计算积分.dsin0xxx分析所以是偶函数,sinxxzzsin某封闭曲线,因zzsin在实轴上有一级极点,0z应使封闭路线不经过奇点,所以可取图示路线:27xyoRCrCrRrR解,0ddddxxezzexxezzeRrixCizrRixCizrR封闭曲线C:RrCrRCrR,,由柯西-古萨定理得:ttexxerRitrRixdd,dxxeRrix，令tx,2sinieexixix由28,0dddsin2rRCizCizRrzzezzexxxi知szezzeRRCizCizddseRRCyd1π0sindeRd22π0sinRed22π0)π2(Re),1(ReRR于是0dzzeRCiz充分小时，当r29!!3!2)(12nziizzizgnn当充分小时,总有z,2)(zgdd0πiiCreirezzr,i,d)(d1drrrCCCizzzgzzzze!!211nzizizzenniz因为),(1zgz30szgzzgrrCCd)(d)(因为,π2d2rCrs0r即0πdizzerCiz,0dddsin2rRCizCizRrzzezzexxxi.2πdsin0xxx所以,πdsin20ixxxi,0d)(rCzzg,πi31例7.2π21dcosdsin0202xxxx证明证2ize设函数时当xz22sincos2xxeiz如图路径，oxyRRADB,0dC2zeir,0ddd04π4π002π2222RieirieiRRixreeRieexeii,0ddd222OABOizABizixzezeze32Rxxix022d)sin(cos或时，当Ririeree4π04π2πd2.2π22π21i4π02sin4π02sin2cosdd22ReRieeRiRiR4π0π4d2ReR).1(4π2ReR0R.dd4π02sin2cos04π222iRiRRriRieeree33022d)sin(cosxxix.2π21.2π22π21i令两端实部与虚部分别相等，得02dcosxx02dsinxx菲涅耳(fresnel)积分34四、小结与思考本课我们应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.35).0(cosd2π022aa计算积分思考题362π2π22cosd21aIπ2π22d12cos2aππ2cos21d21tatπ202cos21d21tat.122aa思考题答案放映结束，按Esc退出.(2)t令