解绝对值不等式的方法总结-(1)

解绝对值不等式题根探讨题根四解不等式2|55|1xx．［题根4］解不等式2|55|1xx．［思路］利用｜f(x)｜a(a0)-af(x)a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551xx即22551(1)551(2)xxxx求解。［解题］原不等式等价于21551xx，即22551(1)551(2)xxxx由（1）得：14x；由（2）得：2x或3x，所以，原不等式的解集为{|12xx或34}x．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551yxxy与的的图象，解方程2551xx，再对照图形写出此不等式的解集。第1变右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x+1|2－x；(2)|2x－2x－6|3x［思路］利用｜f(x)｜g(x)-g(x)f(x)g(x)和｜f(x)｜g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。解：(1)原不等式等价于x+12－x或x+1－(2－x)解得x12或无解，所以原不等式的解集是{x|x12}(2)原不等式等价于－3x2x－2x－63x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560xxxxxxxxxxxxxxxxx或2x6所以原不等式的解集是{x|2x6}［收获］形如|()fx|()gx，|()fx|()gx型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()fx|()gx－()gx()fx()gx②|()fx|()gx()fx()gx或()fx－()gx1．解不等式（1）｜x-x2-2｜x2-3x-4；（2）234xx≤1解：（1）分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x2-2x2-3x-4①或x-x2-2-(x2-3x-4)②解①得：1-2x1+2解②得：x-3故原不等式解集为｛x｜x-3｝分析二∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜而x2-x+2＝(x-14)2+740所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4解得：x-3∴原不等式解集为｛x-3｝（2）分析不等式可转化为-1≤234xx≤1求解，但过程较繁，由于不等式234xx≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx≤19x2≤(x2-4)2(x≠±2)x4-17x2+16≥0x2≤1或x2≥16-1≤x≤1或x≥4或x≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x－1||x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。［解题］（1）由于|x－1|≥0，|x+a|≥0，所以两边平方后有：|x－1|2|x+a|2即有2x－2x+12x+2ax+2a，整理得(2a+2)x1－2a当2a+20即a－1时，不等式的解为x12(1－a)；当2a+2=0即a=－1时，不等式无解；当2a+20即a－1时，不等式的解为x1(1)2a（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜5.解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)5-2x6x-3.当-3x2时，原不等式为(2-x)+(x+3)555无解.当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)52x4x2.综合得：原不等式解集为｛x｜x2或x-3｝.［收获］1）形如|()fx||()gx|型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()fx||()gx|22()()fxgx[()()][()()]fxgxfxgx02）所谓零点分段法，是指：若数1x，2x，……，nx分别使含有|x－1x|，|x－2x|，……，|x－nx|的代数式中相应绝对值为零，称1x，2x，……，nx为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，nx将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化1解关于x的不等式|log(1)||log(1)|aaxx(a0且a≠1)解析：易知－1x1，换成常用对数得：lg(1)lg(1)||||lglgxxaa∴22|lg(1)||lg(1)|xx于是22lg(1)lg(1)0xx∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0xxxx∴21lg(1)lg01xxx∵－1x1∴01－2x1∴lg(1－2x)0∴1lg1xx0∴1011xx解得0x12．不等式|x+3|-|2x-1|2x+1的解集为。解：|x+3|-|2x-1|=)3(4)213(24)21(4xxxxxx∴当21x时124xx∴x2当-3x21时4x+22x+1∴723x当3x时124xx∴3x综上72x或x2故填),2()72,(。3．求不等式1331loglog13xx的解集.解：因为对数必须有意义，即解不等式组0103xx，解得03x又原不等式可化为33loglog31xx(1)当01x时，不等式化为33loglog31xx即33log3log3xx∴33xx∴34x综合前提得：304x。(2)当1x≤2时，即333loglog3log3xx.∴2330xxx。(1)当23x时，333loglog3log3xx(2)∴33xx∴94x，结合前提得：934x。综合得原不等式的解集为390,,344第3变解含参绝对值不等式［变题3］解关于x的不等式34422mmmxx［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|mmx，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m的正负进行讨论。［解题］原不等式等价于3|2|mmx当03m即3m时，)3(232mmxmmx或∴333mxmx或当03m即3m时，0|6|x∴x6当03m即3m时，xR［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。2）形如|()fx|a，|()fx|a(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当a0时，|()fx|a－a()fxa；|()fx|a()fxa或()fx－a；②当a=0时，|()fx|a无解，|()fx|a()fx≠0③当a0时，|()fx|a无解，|()fx|a()fx有意义。第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题［变题4］若不等式|x－4|+|3－x|a的解集为空集，求a的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。［解题］解法一(1)当a≤0时，不等式的解集是空集。(2)当a0时，先求不等式|x－4|+|3－x|a有解时a的取值范围。令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3a，即2x－7a解不等式组474272xaxxa，∴a1②当3x4时，原不等式化为4－x+x－3a得a1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－xa即7－2xa解不等式377337222xaaxxa，∴a1综合①②③可知，当a1时，原不等式有解，从而当0a≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a1时，|x－4|+|3－x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。解法三：∵a|x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1∴当a1时，|x－4|+|3－x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2）fxa有解minafx；fxa解集为空集minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。fxa有解minafx；fxa解集为空集minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。fxa有解maxafx；fxa解集为空集maxafx；这两者互补。fxa恒成立minafx。fxa有解maxafx；fxa解集为空集maxafx；这两者互补。fxa恒成立minafx。［请你试试4—4］1．对任意实数x，若不等式|x+1|－|x－2|k恒成立，求k的取值范围。思维点拨：要使|x+1|－|x－2|k对任意实数x恒成立，只要|x+1|－|x－2|的最小值大于k。因|x+1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离，|x－2|的几何意义为数轴上点x到2的距离，|x+1|－|x－2|的几何意义为数轴上点x到－1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k的取值范围。解法一根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|k成立∵|AB|=3，即|x+1|－|x－2|≥－3故当k－3时，原不等式恒成立解法二令y=|x+1|－|x－2|，则3,121,123,2xyxxx要使|x+1|－|x－2|k恒成立，从图象中可以看出，只要k－3即可。故k－3满足题意。2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|a恒成立，求实数a的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0,即21x时取等号。故a3说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）3．已知a0,不等式|x-4|+|x-3|a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围分析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-