北京市海淀区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第1页（共15页）2015-2016学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2）2．sin（﹣）的值为（）A．1B．﹣1C．0D．3．若α是第二象限的角，P（x，6）为其终边上的一点，且sinα=，则x=（）A．﹣4B．±4C．﹣8D．±84．化简=（）A．cos20°B．﹣cos20°C．±cos20°D．±|cos20°|5．已知A（1，2），B（3，7），=（x，﹣1），∥，则（）A．x=，且与方向相同B．x=﹣，且与方向相同C．x=，且与方向相反D．x=﹣，且与方向相反6．已知函数：①y=tanx，②y=sin|x|，③y=|sinx|，④y=|cosx|，其中周期为π，且在（0，）上单调递增的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①③④7．先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（）第2页（共15页）A．y=cos（2x+）B．y=cos（2x﹣）C．y=cos（x+）D．y=cos（x﹣）8．若m是函数f（x）=﹣2x+2的一个零点，且x1∈（0，m），x2∈（m，+∞），则f（x1），f（x2），f（m）的大小关系为（）A．f（x1）＜f（m）＜f（x2）B．f（m）＜f（x2）＜f（x1）C．f（m）＜f（x1）＜f（x2）D．f（x2）＜f（m）＜f（x1）二．填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上.9．若y=log2x＞1，则x的取值范围是．10．若函数f（x）=x2+3x﹣4在x∈[﹣1，3]上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=．11．若向量=（2，1），=（1，﹣2），且m+n=（5，﹣5）（m，n∈R），则m﹣n的值为．12．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．13．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0）在（0，）上单调递增，且f（）+f（）=0，f（0）=﹣1，则ω=．14．已知函数y=f（x），若对于任意x∈R，f（2x）=2f（x）恒成立，则称函数y=f（x）具有性质P，（1）若函数f（x）具有性质P，且f（4）=8，则f（1）=；（2）若函数f（x）具有性质P，且在（1，2]上的解析式为y=cosx，那么y=f（x）在（1，8]上有且仅有个零点．第3页（共15页）三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知二次函数f（x）=x2+mx﹣3的两个零点为﹣1和n，（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）若f（3）=f（2a﹣3），求a的值．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，函数f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求当x＜0时，f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（a）≤3，求a的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．第4页（共15页）2015-2016学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；综合法；集合．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．sin（﹣）的值为（）A．1B．﹣1C．0D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据正弦函数为奇函数，利用奇函数的性质化简原式，变形后利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（4π+）=﹣sin=﹣1，故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．若α是第二象限的角，P（x，6）为其终边上的一点，且sinα=，则x=（）A．﹣4B．±4C．﹣8D．±8【考点】任意角的三角函数的定义．第5页（共15页）【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】由题意与三角函数的定义可得：=，x＜0，解出即可得出．【解答】解：∵α是第二象限的角，P（x，6）为其终边上的一点，且sinα=，∴=，x＜0，解得x=﹣8．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．化简=（）A．cos20°B．﹣cos20°C．±cos20°D．±|cos20°|【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】被开方数第二项利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次根式的性质化简即可得到结果．【解答】解：∵cos20°＞0，∴原式===|cos20°|=cos20°，故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．已知A（1，2），B（3，7），=（x，﹣1），∥，则（）A．x=，且与方向相同B．x=﹣，且与方向相同C．x=，且与方向相反D．x=﹣，且与方向相反【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用．【分析】求出AB向量，利用斜率平行求出x，然后判断两个向量的方向即可．【解答】解：A（1，2），B（3，7），第6页（共15页）可得=（2，5）=（x，﹣1），∥，可得5x=﹣2，解得x=﹣．=（﹣，﹣1），与方向相反．故选：D．【点评】本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题．6．已知函数：①y=tanx，②y=sin|x|，③y=|sinx|，④y=|cosx|，其中周期为π，且在（0，）上单调递增的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①③④【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的周期性，和三角函数的图象和性质对选项逐个分析即可．【解答】解：①函数y=tanx中ω=1，故周期T==π；因为利用正切函数的图象可得在（0，）上单调递增，所以A正确；③y=sin|x|为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以B不正确；③由于函数y=|sinx|周期为•2π=π，利用正弦函数的图象可得在（0，）上单调递增，故正确；④y=|cosx|是周期为π的三角函数，利用余弦函数的图象可得在（0，）上单调递减，故不正确；故选：B．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握各类三角函数的周期情况及求法是解决问题的关键，属于中档题．7．先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（）A．y=cos（2x+）B．y=cos（2x﹣）C．y=cos（x+）D．y=cos（x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．第7页（共15页）【分析】利用导公式以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式．【解答】解：将函数y=cosx的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2cos（x﹣）的图象；再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得到的函数y=2cos（2x﹣）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．8．若m是函数f（x）=﹣2x+2的一个零点，且x1∈（0，m），x2∈（m，+∞），则f（x1），f（x2），f（m）的大小关系为（）A．f（x1）＜f（m）＜f（x2）B．f（m）＜f（x2）＜f（x1）C．f（m）＜f（x1）＜f（x2）D．f（x2）＜f（m）＜f（x1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得m是函数g（x）=与h（x）=2x﹣2图象的一个交点的横坐标，由此利用数形结合思想能比较f（x1），f（x2），f（m）的大小关系．【解答】解：∵m是f（x）=﹣2x+2的一个零点，∴m是方程的一个解，即m是方程的一个解，∴m是函数g（x）=与h（x）=2x﹣2图象的一个交点的横坐标，如图所示，若x1∈（0，m），x2∈（m，+∞），则f（x2）=g（x2）﹣h（x2）＜0=f（m），f（x1）=g（x1）﹣h（x1）＞0=f（m），∴f（x2）＜f（m）＜f（x1）．故选：D．第8页（共15页）【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二．填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上.9．若y=log2x＞1，则x的取值范围是（2，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】直接利用对数函数的单调性求得x的取值范围．【解答】解：由y=log2x＞1=log22，得x＞2．∴x的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题．10．若函数f（x）=x2+3x﹣4在x∈[﹣1，3]上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=8．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】求出f（x）的对称轴，可得区间[﹣1，3]为增区间，可得最值，即可得到M+m的值．【解答】解：函数f（x）=x2+3x﹣4的对称轴为x=﹣，区间[﹣1，3]在对称轴的右边，即有f（x）在区间[﹣1，3]递增，可得最小值m=f（﹣1）=﹣6；最大M=f（3）=14，可得M+m=8．故答案为：8．第9页（共15页）【点评】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题．11．若向量=（2，1），=（1，﹣2），且m+n=（5，﹣5）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由已知得（2m，m）+（n，﹣2n）=（2m+n，m﹣2n）=（5，﹣5），由此能求出m﹣n的值．【解答】解：∵向量=（2，1），=（1，﹣2），且m+n=（5，﹣5）（m，n∈R），∴（2m，m）+（n，﹣2n）=（2m+n，m﹣2n）=（5，﹣5），∴，解得m=1，n=3，∴m﹣n=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则的合理运用．12．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】，，可得．由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵，，∴，∵E为线段AO的中点，第10页（共15页）∴，∴，2