第一章空间几何体自主检测试卷及答案

第一章自主检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列命题正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图1­1是一幅电热水壶的主视图，它的俯视图是()图1­15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π6．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是()A.12B．1C．2D．37．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是()A．4B．3C．2D．58．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图1­2所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()图1­2A．南B．北C．西D．下9．图1­3是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()图1­3A．32πB．16πC．12πD．8π10．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，如图1­4.若将△ABC绕BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()图1­4A.92πB.72πC.52πD.32π二、填空题(每小题5分，共20分)11．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的体积为__________．12．圆台的高是12cm，上、下两个底面半径分别为4cm和9cm，则圆台的侧面积是__________．13．已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．14．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．三、解答题(共80分)15．(12分)圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，求圆柱的侧面上从A到C的最短距离．16．(12分)如图1­5，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1m2)?图1­517．(14分)如图1­6是一个奖杯的三视图．求这个奖杯的体积(精确到0.01cm3)．图1­618．(14分)如图1­7，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？图1­719．(14分)如图1­8，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大．图1­820．(14分)如图1­9，在正四棱台内，以小底为底面，大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．图1­9检测部分第一章自主检测1．D2.D3.A4.D5.C6.B7．B解析：如图D60，设球的半径是r，则π·BD2＝5π，π·AC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，设OA＝x.∴x2＋8＝r2，(x＋1)2＋5＝r2.解得r＝3.图D608．B9.C10．D解析：旋转体的体积就是一个大圆锥体积减去一个小圆锥的体积，13·π·(3)2×52－13·π·(3)2×1＝32π.11．2312.169πcm213.9614.1∶815．解：如图D61，由圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形，知：圆柱高CD为5cm，底面半径为2.5cm，底面周长为5πcm，则AD为2.5πcm，圆柱侧面上从A到C的最短距离即是矩形ABCD的对角线长为52＋2.5π2＝52π2＋4(cm)．图D6116．解：SE＝0.852＋0.752.所需铁板面积为S＝4×12×1.5×0.852＋0.752≈3.4(m2)．17．解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体．V正四棱台＝13×5×(152＋15×11＋112)≈851.667(cm3)，V长方体＝18×8×8＝1152(cm3)，V球＝43π×33≈113.097(cm3)，所以，这个奖杯的体积为V＝V正四棱台＋V长方体＋V球≈2116.76(cm3)．18．解：当侧面AA1B1B水平放置时，纵截面中水液面积占1－14＝34，所以水液体积与三棱柱体积比为34.当底面ABC水平放置时，液面高度为8×34＝6.19．解：(1)设内接圆柱底面半径为r.其轴截面如图D62.S圆柱侧＝2πr·x.①∵rR＝H－xH，∴r＝RH(H－x)．②②代入①，得S圆柱侧＝2πx·RH(H－x)＝2πRH(－x2＋Hx)(0xH)．(2)S圆柱侧＝2πRH(－x2＋Hx)＝2πRH－x－H22＋H24，∴x＝H2时，S圆柱侧最大＝πRH2.图D62图D6320．解：如图D63，过高OO1和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高EO1.设OO1＝h，所以S锥侧＝12·4b·EO1＝2bEO1，S台侧＝12(4a＋4b)·EE1＝2(a＋b)·EE1.所以2bEO1＝2(a＋b)EE1.①由于OO1E1E是直角梯形，其中OE＝b2，O1E1＝a2.由勾股定理，有EE21＝h2＋a2－b22，EO21＝h2＋b22.②①式两边平方，把②代入，得b2h2＋b24＝(a＋b)2h2＋a2－b22.解得h2＝a2b2－a24a＋2b，所以h＝12a2b2－a2a＋2b.显然，由于a0，b0，所以此题当且仅当a2b时才有解．