湖南省岳阳市2018届高三上第一次月考数学理试题含答案

2018届高三年级第一次质量检测数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足225zii，则z（）A．23iB．23iC．32iD．32i2.已知222|,,|1,,MyyxxRNyxyxRyR，则MN（）A．2,2B．0,2C．0,1D．1,13.等比数列na的前n项和为nS，若362,18SS，则105SS等于（）A．-3B．5C．-31D．334.已知tan20,，则5cos22（）A．35B．45C.35D．455.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（）A．4,10B．2,C.2,4D．4,6.若33nxx的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．-270B．270C.-90D．907.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32B．1C.16D．8.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C.96种D．144种9.定义在R上的函数fx满足2fxfx，当3,5x时，24fxx，则下列不等式一定成立的是（）A．cossin66ffB．sin1cos1ffC.22cossin33ffD．sin2cos2ff10.已知,ab为平面向量，若ab与a的夹角为3，若ab与b的夹角为4，则ab（）A．33B．63C.53D．211.已知两定点1,0A和1,0B，动点,Pxy在直线3yx上移动，椭圆C以,AB为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．55B．105C.255D．210512.只能被1和它本身整除的自然数（不包括1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数，试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P（）A．1677B．1681C.1685D．1687二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.已知幂函数yfx的图象过点12,22，则2log2f的值为．14.若sin3nfn，则1232017ffff．15.已知三棱锥SABC，满足,,SASBSC两两垂直，且2SASBSC，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为．16.已知实数,ab满足ln130bab，实数,cd满足250dc，则22acbd的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知向量2cos,cos1,,22CmBncba，且0mn.（1）求角C的大小；（2）若点D为AB上一点，且满足,7,23ADDBCDc，求ABC的面积.18.如图1，在ABC中，002,90,30ACACBABC，P是AB边的中点，现把ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥ABCP，使得10AB.（1）求证：平面ACP平面BCP；（2）求二面角BACP的余弦值.19.习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：（1）若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求,xy的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为，求概率2P；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为，求的分布列和期望.20.已知点P是直线:2lyx与椭圆22211xyaa的一个公共点，12,FF分别为该椭圆的左右焦点，设12PFPF取得最小值时椭圆为C.（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）已知,AB为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于,AB的任意一点，直线,QAQB分别与y轴交于点0,,0,MmNn，试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.21.已知函数21ln102fxaxaxxa.（1）讨论fx的单调性；（2）若212fxxaxb恒成立，求实数ab的最大值.22.请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题10分）.1.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy中，直线:3xtlyt（t为参数），曲线1cos:1sinxCy（为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的方程为2cos23sin.（1）分别求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线1C于,OA两点，直线l交曲线2C于,OB两点，求AB的长.2．选修4-5：不等式选讲已知函数313fxxax.（1）若1a，解不等式4fx；（2）若函数fx有最小值，求a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ACDDA6-10:CBCCB11、12：AB二、填空题13.1214.3215.43316.1三、解答题17.解：（1）由0mn，得cos2cos0cBbaC，由正弦定理可得sincossin2sincos0CBBAC，∴sin2sincos0AAC，∵sin0A，∴1cos2C，∵0,C，∴3C.（2）∵ADDB，∴,2CDCACBCDCDCACB，又7,23CDc，两边平方：2222242cos28CDbaabCbaab①∵222222cos12cababCabab②由①②可得8ab，∴1sin232ABCSabC.18.【解析】在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，则AECP，在图2中，取CP的中点O，连接,AOOB，因为2ACAPCP，所以AOCP，且3AO，在OCB中，由余弦定理有22201232123cos307OB，所以22210AOOBAB，所以AOOB.又,AOCPCPOBO，所以AO平面PCB，又AO平面ACP，所以平面ACP平面CPB；（2）因为AO平面CPB，且OCOE，故可如图建立空间直角坐标系，则0,0,0,1,0,0,0,0,3,1,0,0,2,3,0OCAPB，2,3,3,1,0,3ABAC.显然平面ACP的法向量为0,1,0n.设平面ABC的法向量为,,mxyz，则由00mABmAC得3,3,1m；因为二面角BACP为锐二面角，故所求角的余弦值3313coscos,1313mn.19.解：（1）由题意知3,4Xy；（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为63105，任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有次发生，故随机变量服从二项分布，则0432201244433323232821555555625PCCC；（3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410.由题意知：的所有可能的取值为0，1，2.则96270101050P16942111010101050P1422101050P所得分布列为：012P275021501252721110125050252E.20.解：（1）联立22221yxxya，得22221430axaxa，∵直线2yx与椭圆有公共点，∴422164130aaa，解得23a，∴3a，又由椭圆定义知122PFPFa，故当3a时，12PFPF取得最小值，此时椭圆C的方程为2213xy；（2）设112100,,,,,AxyBxyQxy，且0,,0,MmNn，∵QAQMkk，∴010010yyymxxx，即001001xyyymxx，∴001011000101xyyxyxymyxxxx，同理，得011001xyxynxx，∴22220100110011022010101xyxyxyxyxyxymnxxxxxx，又222201011,133xxyy，∴222201011,133xxyy，∴2222010122012222010111331xxxxxxmnxxxx，∴mn为定值1.21.解：（1）2111xaxaxaxafxaxxxx，11xaxafxaxxx，①当1a时，10xaxfxx，∴fx在0,上单调递减；②当01a，由0fx解得1ax，∴fx的单调递增区间为,1a，单调递减区间是0a，和1,；③当1a，同理可得fx的单调递增区间为1,a，单调递减区间是01，和,a.（2）∵212fxxaxb恒成立，∴2211ln122axaxxxaxb恒成立，即ln0axxb恒成立，ln0,1aaxgxaxxbxgxxx，∴gx在0,a上递增，,a上递减，∴maxln0gxgaaaab，∴lnbaaa，∴22lnabaaa，令22ln0,2ln12lnhxxxxxhxxxxxx，∴hx在120,e上递增，12,e上递减，∴12max2ehxhe，∴2eab，∴实数ab的最大值为2e.22.1.解：（1）圆1C的标准方程为：2211xy，即：2220xyy，圆1C的极坐标方程为：22sin0，即：2sin，（1）曲线1C：cos1sinxy（为参数），化为普通方程：2211xy，展开可得：2220xyy，可得极坐标方程：22sin0，即2sin.曲线2C的方程为2cos23sin，即22cos23sin化为直角坐标方程：22223xyxy.（2）直线:3xtlyt（t为参数），可得普通方程：3yx，可得极坐标方程：23R.∴222sin3,2c