武汉市武昌区2016年高三五月调考理科数学试卷含答案解析

湖北省武汉市武昌区2016年高三五月调考数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数+是实数，则实数m=（）A．B．1C．D．22．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p=（）A．B．C．D．4．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为（）A．2B．3C．2D．35．设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．S≤？B．S≤？C．S≤？D．S≤？7．（3x﹣y）（x+2y）5的展开式中，x4y2的系数为（）A．110B．120C．130D．1508．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．309．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]10．已知命题p1：设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=﹣a，则f（x）在[0，2]上必有零点；p2：设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q411．△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．12．设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量，满足：=（﹣，1），（+2）⊥，（+）⊥，则||=．14．已知sin（x﹣φ）dx=，则sin2φ=．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．已知函数f（x）=kex﹣1﹣x+x2（k为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，则f（x）的单调递减区间为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列{an}的前项和为Sn，已知a1=1，（1）证明：是等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．18．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．20．已知A（0，1），B（0，﹣1）是椭圆+y2=1的两个顶点，过其右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点，与y轴交于P点（异于A，B两点），直线AC与直线BD交于Q点．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）求证：为定值．21．（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，已知AC=BD=3．（Ⅰ）求ABAD的值；（Ⅱ）求线段AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016武昌区模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P是直线l上的一点，Q是曲线C上的一点，当|PQ|取得最小值时，求P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2016年湖北省武汉市武昌区高三五月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数+是实数，则实数m=（）A．B．1C．D．2【分析】根据复数的概念，利用复数的四则运算进行化简即可得到结论．【解答】解：+=+=+=+i，∵复数+是实数，∴=0，则m=1，故选：B．【点评】本题主要考查复数的有关概念的应用，根据复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．比较基础．2．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p=（）A．B．C．D．【分析】表示出“任意时刻恰有一个系统不发生故障”的概率，求出p的值即可．【解答】解：由题意得：（1﹣p）+p=，∴p=，故选：B．【点评】本题主要考查相互独立事件、互斥事件的概念与计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力．4．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为（）A．2B．3C．2D．3【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到||PF1|﹣|PF2||=2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值．【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得|F1F2|=2，∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴||PF1|﹣|PF2||=2a=2，∴（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为2．故选A．【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于中档题．5．设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．S≤？B．S≤？C．S≤？D．S≤？【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=++=（此时k=6），因此可填：S≤？．故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．7．（3x﹣y）（x+2y）5的展开式中，x4y2的系数为（）A．110B．120C．130D．150【分析】根据（x+2y）5展开式的通项公式，计算（3x﹣y）（x+2y）5展开式中x4y2的系数即可．【解答】解：因为（x+2y）5展开式的通项公式为Tr+1=x5﹣r（2y）r，故分别令r=2、r=1，可得（3x﹣y）（x+2y）5展开式中x4y2的项，故（3x﹣y）（x+2y）5展开式中x4y2的系数为：322﹣2=110．故选：A．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．9．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]【分析】由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，在[7，12]上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．【点评】本题主要考查通过观察函数的图象确定函数单调性的问题．10．已知命题p1：设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=﹣a，则f（x）在[0，2]上必有零点；p2：设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【分析】根据条件分别判断命题p1和p1的真假性，根据复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：p1：设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），则f（1）=﹣a＜0，则函数与x轴一定