西南大学附中2011-2012年高一上期末考试数学试题及答案

西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试高一数学试题（总分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|||2}Mxx，2{|30}Nxxx，则MN（）A．{3}B．{0}C．{0，2}D．{0，3}2．函数()12xfx的定义域是（）A．(,0]B．[0,)C．(,0)D．(,)3．函数()xbfxa的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b04．函数11yx（1x）的反函数是（）A．221yxx（x1）B．222yxx（1x）C．22yxx（x1）D．22yxx（1x）5．已知()fx为R上的减函数，则满足1(||)(1)ffx的实数x的取值范围是（）A．（–1，1）B．（0，1）C．(1,0)(0,1)D．(,1)(1,)6．要得到函数2cosyx的图象，只需将函数2sin(2)4yx的图象上所有的点的（）A．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左移8个单位长度B．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右移4个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移4个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移8个单位长度7．||1a，||2b，cab，且ca，则向量ab与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°1Oxy8．定义在R上的函数()fx既是偶函数又是周期函数，若()fx的最小正周期是，且当[0,]2x时，()sinfxx，则5()3f的值为（）A．12B．12C．32D．329．函数2sin(2)6yx，[0,]x为增函数的区间是（）A．[0,)3B．17[,]1212C．5[,]36D．5[,]610．设2,(||1)(),(||1)xxfxxx，()gx是二次函数，若[()]fgx的值域是[0,)，则()gx的值域是（）A．(,1][1,)B．(,1][0,)C．[0,)D．[1,)二、填空题（每小题5分，共25分）11．sin600_____________．12．在R上定义运算“△”：x△y=x(2–y)，若不等式(x+m)△x1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是_______________．13．若()||fxxa在区间[1,)上为增函数，则实数a的取值范围是____________．14．若3cos()63，则25cos()sin()66_____________．15．设O为△ABC内一点，且20OAOBkOC（k0），:2:11AOCABCSS，则k的值为_______________．三、解答题（共75分）16．(13分)已知2sin()cos()()32．求值：(1)sincos；(2)33sin(2)cos(2)．17．(13分)记函数3()21xfxx的定义域为A，()lg[(1)(2)]gxxaax（a1）的定义域为B．(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．18．(13分)已知函数()fx满足2(23)421fxxx．(1)求()fx的解析式；(2)设()()7gxfxax，aR，试求()gx在[1，3]上的最小值．19．(12分)已知平面上的三个单位向量a，b，c，它们之间的夹角均为120°．(1)求证：()abc；(2)若||1kabc，求实数k的取值范围．20．(12分)已知a0，函数()2sin(2)26fxaxab，当[0,]2x时，5()1fx．(1)求常数a、b的值；(2)设()()2gxfx且lg()0gx，求()gx的单增区间．21．(12分)对于在区间[m，n]上有意义的两个函数()fx与()gx，如果对任意[,]xmn，均有|()()|1fxgx，则称()fx与()gx在[m，n]上是友好的，否则称()fx与()gx在[m，n]是不友好的．现有两个函数1()log(3)afxxa与21()logafxxa（a0且1a），给定区间[2,3]aa．(1)若1()fx与2()fx在给定区间[2,3]aa上都有意义，求a的取值范围；(2)讨论1()fx与2()fx在给定区间[2,3]aa上是否友好．（命题人：涂登熬审题人：周静）西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题1．B2．A3．D4．B5．C6．C7．C8．D9．C10．C二、填空题11．3212．（–4，0）13．(,1]14．23315．8三、解答题16．解：(1)∵2sin()cos()3，∴2sincos3∴221(sincos)179sincos2218又∵2，∴sincos274sincos(sincos)12sincos193(2)333333sin(2)cos(2)sincoscossin22(cossin)(coscossinsin)4722(1)3182717．解：(1)312001111xxxxxx或∴(,1)[1,)A(2)由(1)(2)0(1)(2)0xaaxxaxa∵a1，∴12aa，∴B=（2a，a+1）∵BA，∴21a或11a，即12a或2a而a1，∴112a或2a∴a的范围为1(,2)[,1)218．解：(1)∵令23xt，则32tx于是22()(3)(3)1713fttttt∴2()713fxxx(2)222()()7()7()1372713gxfxaxxaxaxxaxaa①当1a时，即1a时，22min()(1)12713914gxgaaaaa②当13a时，即31a时，min()()713gxgaa③当3a时，即3a时，22min()(3)967131322gxgaaaaa综上，2min21322(3)()713(31)914(1)aaagxaaaaa19．(1)证：∵||||||1abc，且夹角均为120°∴1cos1202abbc∴()0abcacbc∴()abc(2)解：由||1kabc，平方得22222221kabckabkcabc（※）∵222||||||1abc，111cos1202abcabc故（※）式即为21111kkk，即220kk∴k0或k220．解：(1)∵[0,]2x，∴72[,]666x∴1sin(2)[,1]62x∴()[,3]fxbab又∵5()1fx∴52315baabb(2)由(1)知，()4sin(2)16fxx∴()()4sin(2)126gxfxx又由lg()0()1gxgx∴54sin(2)11222()6666xkxkkz其中，单增时，有222662kxk，即()6kxkkz∴增区间为(,]()6kkkz21．解：(1)由题，300301xaxaxaaa且又12()()fxfx与在[2,3]aa上有意义∴230101aaaaa且(2)12()()fxfx与在[2,3]aa上是友好的12|()()|1fxfx1|log(3)log|1aaxaxa|log[(3)()]|1axaxa221(2)axaaa对任意的[2,3]xaa恒成立现设22()(2)hxxaa，[2,3]xaa由(1)问知，()hx的对称轴22xa，在区间[2,3]aa的左边∴minmax()(2)44957011112(3)96()ahxahaaaahaahxaaa∴当957012a时，12()()fxfx与在[2,3]aa上是友好的当957112a时，12()()fxfx与在[2,3]aa上是不友好的