高二数学（11）

1高二数学同步测试（11）—抛物线一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22xy的焦点坐标是（）A．)0,1(B．)0,41(C．)81,0(D．)41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点)3,(mP到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A．yx82B．yx42C．yx42D．yx823．抛物线xy122截直线12xy所得弦长等于（）A．15B．152C．215D．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A．yx292或xy342B．xy292或yx342C．yx342D．xy2925．点)0,1(P到曲线tytx22（其中参数Rt）上的点的最短距离为（）A．0B．1C．2D．26．抛物线)0(22ppxy上有),,(),,(2211yxByxA),(33yxC三点，F是它的焦点，若CFBFAF,,成等差数列，则（）A．321,,xxx成等差数列B．231,,xxx成等差数列C．321,,yyy成等差数列D．231,,yyy成等差数列7．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线xy22的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PFPA取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．)1,21(8．已知抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB的两端点为),(11yxA,),(22yxB,则关系式2121xxyy的值一定等于（）A．4pB．－4pC．p2D．－p9．过抛物线)0(2aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是qp,，则qp11（）A．a2B．a21C．a4D．a410．若AB为抛物线y2=2px(p0)的动弦，且|AB|=a(a2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是（）A．21aB．21pC．21a＋21pD．21a－21p二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）211．抛物线xy2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为______________．12．已知圆07622xyx，与抛物线)0(22ppxy的准线相切，则p___________．13．如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线322xxy没有交点，那么实数a的取值范围是．14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上；（2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号）______．三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线pxy22上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.（12分）16．已知抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.（12分）17．抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.（12分）318．已知抛物线C：2742xxy，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．（1）若C在点M的法线的斜率为21，求点M的坐标（x0，y0）；（2）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.（12分）19．已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.（14分）420．如图,直线y=21x与抛物线y=81x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号123456789105答案CDABBACBCD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．)42,81(12．213．)413,(14．（2），（5）三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线pxy22上，有2282p，解得p=16.所以抛物线方程为xy322，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且2FMAF，设点M的坐标为),(00yx，则02128,8212200yx，解得4,1100yx，所以点M的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：).0)(11(4kxky由xyxky32),11(42消x得0)411(32322kyky，所以kyy3221，由（2）的结论得4221yy，解得.4k因此BC所在直线的方程为：.0404yx16．（12分）[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则1122ayxaxy②①，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，∴a1y,1xayx即，代入②得a2x2－ax－a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得43a．17．（12分）[解析]：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB的中心为)21,2(yxC，L:y=kx－1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1①，2442)(4221221222121kxxxxxxyy，∵C为AB的中点.∴1222122222222kyyykxxx3442kykx，消去k得x2=4(y+3),由①得，4x，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)(4x)．18．（14分）[解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为：mxy2，代入C得0)27(22mxx，则250)27(44mm，21252,100yx，即M（－1，21）．（2）当a＞0时，假设在C上存在点),(11yxQ满足条件．设过Q的切线方程为：nkxy，代入2742xxy0)27()4(2nxkx，则414)4(02nk，6且,241kx4221ky．若0k时，由于akakkxaykkPQ24121211，∴21211ayax或21211ayax；若k=0时，显然)21,2(Q也满足要求．∴有三个点（－2＋a，212a），（－2－a，212a）及（－2，－21），且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：x＋2ay＋2－2aa＝0，x－2ay＋2＋2aa＝0，x＝－2.当a≤0时，在C上有一个点（－2，－21），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2.19．（12分）[解析]：（1）F（a,0）,设),(),,(),,(002211yxPyxNyxM，由16)4(4222yaxaxy0)8()4(222aaxax，)4(2,021axx，8)()(21axaxNFMF（2）假设存在a值，使的NFPFMF,,成等差数列，即21022xxxNFMFPFax40①，∵P是圆A上两点M、N所在弦的中点，∴MNAP1212004xxyyaxy由①得0448)(42222002212121212120ayyayyaxxyyaaxxyyay，这是不可能的．∴假设不成立．即不存在a值，使的NFPFMF,,成等差数列．20．（14分）[解析]：【解】(1)解方程组481212xyxy得2411yx或4822yx即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB==21,直线AB的垂直平分线方程y－1=21(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)．(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,81x2－4).∵点P到直线OQ的距离d=24812xx=3282812xx,25OQ,∴SΔOPQ=21dOQ=3281652xx.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴－4≤x43－4或43－4x≤8.∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30．