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1.1.1集合的含义与表示一、选择题1.方程组3x+y=22x-3y=27的解集是()A.x=3y=-7B.{x,y|x=3且y=-7}C.{3,-7}D.{(x,y)|x=3且y=-7}[答案]D[解析]解方程组3x+y=22x-3y=27得x=3y=-7用描述法表示为{(x,y)|x=3且y=-7},用列举法表示为{(3,-7)},故选D.2.集合A={x∈Z|y=12x+3,y∈Z}的元素个数为()A.4B.5C.10D.12[答案]D[解析]12能被x+3整除.∴y=±1,±2,±3,±4,±6,±12,相应的x的值有十二个:9,-15,3,-9,1,-7,0,-6,-1,-5,-2,-4.故选D.3.集合A={一条边长为2,一个角为30°的等腰三角形},其中的元素个数为()A.2B.3C.4D.无数个[答案]C[解析]两腰为2,底角为30°;或两腰为2,顶角为30°;或底边为2,底角为30°;或底边为2,顶角为30°.共4个元素,因此选C.4.已知a、b、c为非零实数,代数式a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的值所组成的集合为M,则下列判断中正确的是()A.0∉MB.-4∉MC.2∈MD.4∈M[答案]D[解析]a、b、c皆为负数时代数式值为-4,a、b、c二负一正时代数式值为0,a、b、c一负二正时代数式值为0,a、b、c皆为正数时代数式值为4,∴M={-4,0,4}.5.在直角坐标系内,坐标轴上的点构成的集合可表示为()A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}B.{(x,y)|x=0且y=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x,y不同时为零}[答案]C[解析]在x轴上的点(x,y),必有y=0;在y轴上的点(x,y),必有x=0,∴xy=0.6.集合M={(x,y)|xy≤0,x,y∈R}的意义是()A.第二象限内的点集B.第四象限内的点集C.第二、四象限内的点集D.不在第一、三象限内的点的集合[答案]D[解析]∵xy≤0,∴xy<0或xy=0当xy<0时,则有x<0y>0或x>0y<0,点(x,y)在二、四象限,当xy=0时,则有x=0或y=0,点(x,y)在坐标轴上,故选D.7.方程组x+y=1x2-y2=9的解(x,y)构成的集合是()A.(5,4)B.{5,-4}C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}[答案]D[解析]首先A,B都不对,将x=5,y=-4代入检验知是方程组的解.∴选D.*8.集合S={a,b,c}中的三个元素a、b、c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形[答案]D[解析]由集合元素的互异性知,a、b、c两两不等.9.设a、b∈R,集合{1,a+b,a}={0,ba,b},则b-a等于()A.1B.-1C.2D.-2[答案]C[解析]∵{1,a+b,a}={0,ba,b},∴a≠0,∴a+b=0,∴a=-b,∴ba=-1,∴a=-1,b=1,∴b-a=2.故选C.10.设集合A={0,1,2},B={-1,1,3},若集合P={(x,y)|x∈A,y∈B,且x≠y},则集合P中元素个数为()A.3个B.6个C.9个D.8个[答案]D[解析]x∈A,对于x的每一个值,y都有3个值与之对应,但由于x≠y,∴x=1,y=1,不合题意,故共有3×3-1=8个.[点评]可用列举法一一列出:P={(0,-1),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,3),(2,-1),(2,1),(2,3)}.二、填空题11.将集合{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N}用列举法表示为________.[答案]{(2,4),(5,2),(8,0)}[解析]∵3y=16-2x=2(8-x),且x∈N,y∈N,∴y为偶数且y≤5,∴当x=2时,y=4,当x=5时y=2,当x=8时,y=0.12.已知A={1,0,-1,2},B={y|y=|x|,x∈A},则B=________.[答案]{1,0,2}[解析]当x=1时,y=1;x=0时,y=0;x=-1时,y=1;x=2时,y=2,∴B={1,0,2}.13.对于集合A={2,4,6},若a∈A,则6-a∈A,那么a的值是________.[答案]2或4[解析]∵a∈A,∴a=2或a=4或a=6,而当a=2和a=4时,6-a∈A,∴a=2或a=4.三、解答题14.用列举法表示集合.(1)平方等于16的实数全体;(2)比2大3的实数全体;(3)方程x2=4的解集;(4)大于0小于5的整数的全体.[解析](1){-4,4}(2){5}(3){-2,2}(4){1,2,3,4}.15.用描述法表示下列集合:(1){0,2,4,6,8};(2){3,9,27,81,…};(3)12,34,56,78,…;(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合.[解析](1){x∈N|0≤x10,且x是偶数}.(2){x|x=3n,n∈N+}.(3){x|x=2n-12n,n∈N+}.(4){x|x=5n+2,n∈Z}.*16.设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},若已知5∈A,且5∉B,求实数a的值.[解析]∵5∈A,且5∉B,∴a2+2a-3=5,|a+3|≠5,即a=-4或a=2,a≠2且a≠-8,∴a=-4.17.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}:(1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.[分析]集合A是方程ax2-3x-4=0的解集.A中有两个元素,即方程有两个相异实根,必有a≠0;A中至多有一个元素,则a≠0时,应有Δ≤0;a=0时,恰有一个元素.[解析](1)∵A中有两个元素,∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,∴Δ=9+16a0a≠0,即a-916且a≠0.(2)当a=0时,A={-43};当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根,∴Δ=9+16a≤0,即a≤-916.故所求的a的取值范围是a≤-916或a=0.*18.设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求a2008+b2007.[解析]解法1:∵A=B,∴a2=1,ab=b,或a2=b,ab=1.解方程组得,a=-1,b=0,或a=1,b=1,或a=1,b为任意实数.由集合元素的互异性得a≠1,∴a=-1,b=0,故a2008+b2007=1.解法2:由A=B,可得1·a·b=a·a2·ab,1+a+b=a+a2+ab,即ab(a3-1)=0①(a-1)(a+b+1)=0②因为集合中的元素互异,所以a≠0,a≠1.解方程组得,a=-1,b=0.故a2008+b2007=1.
本文标题:1-1-1集合的含义与表示
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