2-1-2-1指数函数及其性质

2.1.2.1一、选择题1．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是()A．y＝21xB．y＝2x－1C．y＝2x＋1D．y＝(12)2－x[答案]D[解析]在A中，∵1x≠0，∴21x≠1，所以函数y＝21x的值域是{y|y0，且y≠1}．在B中，∵2x－1≥0，∴2x－1≥0，所以函数y＝2x－1的值域是[0，＋∞)．在C中，∵2x＋11，∴2x＋11，所以函数y＝2x＋1的值域是(1，＋∞)．在D中，由于函数y＝(12)2－x的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2－x也就可以取一切实数，所以(12)2－x取一切正实数，即函数y＝(12)2－x的值域为(0，＋∞)，故选D.2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成()A．511个B．512个C．1023个D．1024个[答案]B[解析]∵每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，∴29＝512，故选B.3．如果函数y＝(ax－1)－12的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是()A．a0B．0a1C．a1D．a≥1[答案]C[解析]y＝(ax－1)－12＝1ax－1，因此ax－10∴ax1，又∵x0，∴a1，故选C.4．函数y＝a|x|(0a1)的图象是()[答案]C[解析]y＝ax(x≥0)1ax(x0)，∵0a1，∴在[0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增，且y≤1，故选C.[点评]可取a＝12画图判断．A．abcB．bacC．bcaD．cba[答案]B即ac，∴bac.[点评]指数函数的图象第一象限内底大图高，6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于()A.12B．2C．4D.14[答案]B[解析]当a1时，ymin＝a0＝1；ymax＝a1＝a，由1＋a＝3，所以a＝2.当0a1时，ymax＝a0＝1，ymin＝a1＝a.由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，综上所述，有a＝2.7．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是()[答案]B[解析]由指数函数的定义知a0，故f(x)＝ax的图象经过一、三象限，∴A、D不正确．若g(x)＝ax为增函数，则a1，与y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正确．B中0a1，故B正确．8．函数y＝(12)x2＋2x的值域是()A．(0，＋∞)B．(0,2]C．(12，2]D．(－∞，2][答案]B[解析]∵u＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，y＝(12)u在[－1，＋∞)上是减函数，∴y≤12－1＝2.∴y∈(0,2]．二、填空题9．指数函数y＝f(x)的图象过点(－1，12)，则f[f(2)]＝________.[答案]16[解析]设f(x)＝ax(a0且a≠1)，∵f(x)图象过点(－1，12)，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴f[f(2)]＝f(22)＝f(4)＝24＝16.10．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域为__________．[答案]{y|－53≤y≤1}[解析]当－1≤x≤1时，13≤3x≤3，∴y∈[－53，1]，值域为{y|－53≤y≤1}．11．已知x0时，函数y＝(a2－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．[答案]a3或a－3[解析]当x0时(a2－8)x1，∴a2－81，∴a3或a－3.12．(09·江苏文)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为________．[答案]mn[解析]∵a＝5－12，∴0a1，∴函数f(x)＝ax在R上单调递减，∵f(m)f(n)，∴mn.三、解答题13．已知f(x)＝12(ax－a－x)，g(x)＝12(ax＋a－x)，求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)．[解析]f2(x)＋g2(x)＝14(ax－a－x)2＋14(ax＋a－x)2＝14(2a2x＋2a－2x)＝12(a2x＋a－2x)＝g(2x)成立．14．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．15．已知f(x)＝73x＋1，g(x)＝2x，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个区间上，f(x)的值小于g(x)？哪个区间上，f(x)的值大于g(x)?[解析]在同一坐标系中，画出函数f(x)＝2x与g(x)＝7x3＋1的图象如图所示，两函数图象的交点为(0,1)和(3,8)，显然当x∈(－∞，0)或x∈(3，＋∞)时，f(x)g(x)，当x∈(0,3)时，f(x)g(x)．16．判断函数f(x)＝x2x－1＋x2的奇偶性．[解析]∵2x－1≠0，∴x≠0，定义域{x∈R|x≠0}∵f(x)＝x2x－1＋x2＝x(2x＋1)2(2x－1)，∴f(－x)＝－x(2－x＋1)2(2－x－1)＝－x(1＋2x)2(1－2x)＝x(2x＋1)2(2x－1)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．17．求下列函数的定义域和值域[解析](1)函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)(2)要使函数有意义，必须且只须3x－2≥0，即x≥23，∴函数的定义域为[23，＋∞)设t＝3x－2，则t≥0，y＝5t∴y≥1∴函数的值域为[1，＋∞)．(3)要使函数有意义，必须且只须x＋1≠0，即x≠－1.∴函数的定义域为{x∈R|，x≠－1}设t＝x＋2x＋1，则t∈R且t≠1，y＝(13)t，∴y0且y≠13∴函数的值域为(0，13)∪(13，＋∞)