2-1-2-2指数函数性质的应用

2.1.2.2一、选择题1．当a1时，函数y＝ax＋1ax－1是()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数[答案]A[解析]由ax－1≠0得x≠0，∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f(－x)＝a－x＋1a－x－1＝1ax＋11ax－1＝1＋ax1－ax＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．2．一批价值a万元的设备，由于使用时磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为()A．na(1－b%)B．a(1－nb%)C．a[1－(b%)n]D．a(1－b%)n[答案]D3．函数y＝3x与y＝(13)x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[答案]B4．若定义运算a*b＝b(a≥b)a(ab)，则函数f(x)＝3x*3－x的值域是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)[答案]A[解析]f(x)＝3x*3－x＝3－x(x≥0)3x(x0)∴f(x)∈(0,1]，故选A.5．若－1a0，则有()A．2a(12)a0.2aB．(12)a0.2a2aC．0.2a(12)a2aD．2a0.2a(12)a[答案]C[解析]解法1：∵a0，∴2a2－a＝(12)a,0.2a＝(15)a(12)a，∴0.2a(12)a2a，故选C.解法2：在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝12x与y＝0.2x的图象如图，∵－1a0，当x＝a时，由图可见2a12a0.2a，∴选C.6．设a、b满足0ab1，下列不等式中正确的是()A．aaabB．babbC．aabaD．bbab[答案]C[解析]解法1：∵0a1，∴y＝ax是减函数，又∵ab，∴aaab.排除A；同理得babb，排除B.在同一坐标系中作出y＝ax与y＝bx的图象．由x0时“底大图高”知x0时，y＝bx图象在y＝ax图象上方，当x＝b时，立得bbab，排除D；当x＝a时，baaa，∴选C.解法2：取特值检验，令a＝14，b＝12，则aa＝22，ab＝12，ba＝142，bb＝22，排除A、B、D，∴选C.7．设函数f(x)＝若f(x0)1，则x0的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]D∴x01.综上所述：x0－1或x01.8．已知x、y∈R，且2x＋3y2－y＋3－x，则下列各式中正确的是()A．x＋y0B．x＋y0C．x－y0D．x－y0[答案]A[解析]作函数f(x)＝2x－3－x.因为2x为增函数，由3－x＝(13)x为减函数，知－3－x也是增函数，从而f(x)为增函数，由2x－3－x2－y－3y＝2－y－3－(－y)可知f(x)f(－y)．又f(x)为增函数，所以x－y，故x＋y0.选A.二、填空题9．函数f(x)＝ax(a0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大a2，则a的值为________．[答案]32或12[解析]注意进行分类讨论(1)当a1时，f(x)＝ax为增函数，此时f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a∴a2－a＝a2，解得a＝321.(2)当0a1时，f(x)＝ax为减函数，此时f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(2)＝a2∴a－a2＝a2，解得a＝12∈(0,1)综上所述：a＝32或12.10．不等式3x2(13)x－2的解集为________．[答案](－2,1)[解析]原不等式即3x232－x⇒x22－x⇒x2＋x－20⇒－2x1.11．函数y＝(23)|1－x|的单调递减区间是________．[答案][1，＋∞)[解析]y＝(23)|1－x|＝(23)x－1(x≥1)(23)1－x(x1)因此它的减区间为[1，＋∞)．12．当x0时，指数函数y＝(a2－3)x的图象在指数函数y＝(2a)x的图象的上方，则a的取值范围是________．[答案]a3[解析]ⅰ)a2－32a1解得：a3；ⅱ)a2－312a0不等式无解；ⅲ)1a2－32a0不等式无解；综上所述a3.三、解答题13．讨论函数f(x)＝(15)x2－2x的单调性，并求其值域．[解析]解法1：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1x2，(1)当x1x2≤1时，x1＋x22，则有x2＋x1－20，又∵x2－x10，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)0，又∵对于x∈R，f(x)0恒成立，∴f(x2)f(x1)，∴函数f(x)＝(15)x2－2x在(－∞，1]上单调递增．(2)当1≤x1x2时，x1＋x22，则有x2＋x1－20，又∵x2－x10，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)0，∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．综上所述，函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，又0151，∴0(15)x2－2x≤(15)－1＝5，∴函数f(x)的值域是(0,5]．解法2：∵函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令t＝x2－2x，u＝(15)t，又∵t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，u＝(15)t在其定义域内是减函数，∴函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上是减函数．以下求值域方法同上．14．已知f(x)＝12x－1＋a是奇函数，求a的值及函数值域．[分析]本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(－x)＝－f(x)恒成立，可求得a值．其值域可借助基本函数值域求得．[解析]①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．即－[12x－1＋a]＝12－x－1＋a，∴2a＝－12－x－1－12x－1＝1，∴a＝12.②∵2x－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)∵u＝2x－1－1且u≠0，∴1u－1或1u0∴12x－1＋12－12或12x－1＋1212∴f(x)的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．15．对于函数y＝(12)x2－6x＋17，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调区间．[解析](1)设u＝x2－6x＋17，∵函数y＝(12)u及u＝x2－6x＋17的定义域是R，∴函数y＝(12)x2－6x＋17的定义域是R.∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，∴(12)u≤(12)8＝1256，又∵(12)u0，∴函数的值域为{y|0y≤1256}．(2)∵函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，∴当3≤x1x2＋∞时，有u1u2.∴y1y2，即[3，＋∞)是函数y＝(12)x2－6x＋17的单调递减区间；同理可知，(－∞，3]是函数y＝(12)x2－6x＋17的单调递增区间．16．已知f(x)＝10x－10－x10x＋10－x.(1)求证f(x)是定义域内的增函数；(2)求f(x)的值域．[解析](1)证法1：f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝102x－1102x＋1＝1－2102x＋1.令x2x1，则f(x2)－f(x1)＝.故当x2x1时，f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)．所以f(x)是增函数．证法2：考虑复合函数的增减性．由f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝1－2102x＋1.∵10x为增函数，∴102x＋1为增函数，2102x＋1为减函数，－2102x＋1为增函数．∴f(x)＝1－2102x＋1在定义域内是增函数．(2)令y＝f(x)．由y＝102x－1102x＋1，解得102x＝1＋y1－y.∵102x0，∴－1y1.即f(x)的值域为(－1,1)．