2-3-1幂函数

2.3.1一、选择题1．幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－32m－13的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为()A．2或－3B．2C．－3D．0[答案]B[解析]由m2＋m－5＝1得m＝2或－3，∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶函数，∴m＝2.2．函数y＝xn在第一象限内的图象如下图所示，已知：n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－12[答案]B[解析]图中c1的指数n1，c2的指数0n1，因而排除A、C选项，取x＝2，\由2－122－2知B正确．评述：幂函数在第一象限内当x1时的图象及指对函数在第一象限内的图象，其分布规律与a(或α)值的大小关系是：幂指逆增、对数逆减．3．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝－3|x|B．y＝x12C．y＝log3x2D．y＝x－x2[答案]A4．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋1a的图象应是()[答案]B[解析]首先若a0，y＝ax＋1a，应为增函数，只能是A或C，应有纵截距1a0因而排除A、C；故a0，幂函数的图象应不过原点，排除D，故选B.5．设a、b满足0ab1，则下列不等式中正确的是()A．aaabB．babbC．aabaD．bbab[答案]C[解析]∵y＝ax单调减，ab，∴aaab，排除A.∵y＝bx单调减，ab，∴babb，排除B.∵y＝xa与y＝xb在(0,1)上都是增函数，ab，aaba，abbb，∴C对D错．6．若a0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是()A．5－a5a0.5aB．5a0.5a5－aC．0.5a5－a5aD．5a5－a0.5a[答案]B[解析]5－a＝(15)a＝0.2a，∵a0，∴y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∵0.20.55，∴0.2a0.5a5a即5－a0.5a5a.7．(2010·安徽文，7)设a＝(35)25，b＝(25)35，c＝(25)25，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cabD．bca[答案]A[解析]对b和c，∵指数函数y＝(25)x单调递减．故(25)35(25)25，即bc.对a和c，∵幂函数．y＝x25在(0，＋∞)上单调递增，∴(35)25(25)25，即ac，∴acb，故选A.8．当0ab1时，下列不等式正确的是()A．(1－a)1b(1－a)bB．(1＋a)a(1＋b)bC．(1－a)b(1－a)b2D．(1－a)a(1－b)b[答案]D[解析]∵0ab1，∴01－a1，∴(1－a)a(1－a)b①又∵1－a1－b0，∴(1－a)b(1－b)b②由①②得(1－a)a(1－b)b.∴选D.9．幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝()A．1B．2C．3D．无法确定[答案]A[解析]由条件知，M13，23、N23，13，∴13＝23α，23＝13β，∴13αβ＝13βα＝23α＝13，∴αβ＝1.故选A.10．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图象可能是()[答案]C[解析]由A，B图可知幂函数y＝xa在第一象限递减，∴a0，所以直线y＝ax－1a的图象经过第二、四象限，且在y轴上的截距为正，故A、B都不对；由C、D图可知幂指数a0，直线的图象过第一、三象限，且在y轴上的截距为负，故选C.二、填空题11．函数f(x)＝(x＋3)－2的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间为__________．[答案]{x|x∈R且x≠－3}；(－∞，－3)；(－3，＋∞)[解析]∵y＝(x＋3)－2＝1(x＋3)2，∴x＋3≠0，即x≠－3，定义域为{x|x∈R且x≠－3}，y＝x－2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)，单调减区间为(－3，＋∞)．12．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，那么这个幂函数的解析式为________．[答案]y＝x1213．若(a＋1)13(2a－2)13，则实数a的取值范围是________．[答案](3，＋∞)[解析]∵y＝x13在R上为增函数，(a＋1)13(2a－2)13.∴a＋12a－2，∴a3.三、解答题14．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．[解析](1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1＋132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.15．已知函数y＝xn2－2n－3(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．[解析]因为图象与y轴无公共点，所以n2－2n－3≤0，又图象关于y轴对称，则n2－2n－3为偶数，由n2－2n－3≤0得，－1≤n≤3，又n∈Z.∴n＝0，±1,2,3当n＝0或n＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．当n＝－1或n＝3时，有y＝x0，其图象如图A.当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B.∴n的取值集合为{－1,1,3}．16．点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)g(x);②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．[解析]设f(x)＝xα，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再设g(x)＝xβ，则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象．如下图所示．由图象可知：①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．17．运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式(2x－1)－12(2x－1)2成立的x的取值范围．[解析]解法一：在同一坐标系中作出函数y＝x－12与y＝x2的图象，观察图象可见，当0x1时，x－12x2，∴02x－11，∴12x1.解法二：由于底数相同，可看作指数函数运用单调性．∵2x－10且2x－1≠1，又y＝ax当a1时为增函数，当0a1时为减函数，(2x－1)－12(2x－1)2.∴02x－11.∴12x1.