排列与组合

排列与组合一、选择题（小题，每小题分）1.若5(12)2(,abab为有理数），则ab（）A．45B．55C．70D．802.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个3.在二项式251()xx的展开式中，含4x的项的系数是()A．10B．10C．5D．54.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种5.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.188C.216D.966.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(A)300(B)216(C)180(D)162网7.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位[]A85B56C49D288.函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到'F,'F的函数解析式为(),yfx当()yfx为奇函数时，向量a可以等于.(,2)6A.(,2)6B.(,2)6C.(,2)6D9.若20092009012009(12)()xaaxaxxR,则20091222009222aaa的值为（A）2（B）0（C）1(D)210.若122nnnnnCxCxCx能被7整除，则,xn的值可能为A．4,3xnB．4,4xnC．5,4xnD．6,5xn二、填空题（小题，每小题分）11.在323(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为____(用数字作答)12.4xyyx的展开式中33xy的系数为。13.用1,4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x.14.以1239，，，这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.三、解答题（小题，每小题分）15.6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?16.（本题满分13分）一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球（球的大小均一样）（1）从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？（2）取得一个红球记为2分，一个白球记为1分。从口袋中取出五个球，使总分不小于7分的不同取法共有多少种？17.已知121,2,3,nnnnnaAAAn，当n≥2时，求证：⑴naann11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3naaaan≤18.（1）在n（1+x）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少？（2）31nxxx的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项。19.(本小题满分12分)某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影。（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种?（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种?20.（16分）设函数()fx满足1)0(f，且对任意Ryx,，都有2)()()()1(xyfyfxfxyf.（Ⅰ）求)(xf的解析式；（Ⅱ）若数列{}na满足：13()1nnafa（*nN），且11a,求数列{}na的通项；（Ⅲ）求证：(1)3112,().22(1)fnnNfn答案一、选择题（小题，每小题分）1.C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵501234501234555555512222222CCCCCC15220202204241292，由已知，得412922ab，∴412970ab.故选C.2.答案：B解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．3.B解析：对于251031551()()1rrrrrrrTCxCxx，对于1034,2rr，则4x的项的系数是225(1)10C4.【解析】分类计数：甲在星期一有种安排方法，甲在星期二有种安排方法，甲在星期三有种安排方法，总共有种答案：A5.B解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333AACA种，其中男生甲站两端的有1442223232212AACAA，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有2221122222322323242()()188ACACCACAA,选B。6.C解析：分类讨论思想：第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为243472CA第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为21433243[]108CCAA共有，180个数7.C解析：由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1227CC42，另一类是甲乙都去的选法有2127CC=7，所以共有42+7=49，即选C项。8.C解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，顺序有33A种，而甲乙被分在同一个班的有33A种，所以种数是23343330CAA9.C解析：200920092009(1)12rrrrraC则12,raaaK都能表示出来，则20091222009222aaa等于20092009(1)rrC，再利用倒序相加法求得。10.C解析：122(1)1nnnnnnCxCxCxx,当5,4xn时,4(1)1613537nx能被7整除,故选C.二、填空题（小题，每小题分）11.7解析：由条件易知3333(1),(1),(1)xxx展开式中x项的系数分别是123333C,C,C，即所求系数是331712.6解析：4224()xyyxxyxy，只需求4()xy展开式中的含xy项的系数：246C13.2解析：当0x时，有4424A个四位数，每个四位数的数字之和为145x24(145)288,2xx；当0x时，288不能被10整除，即无解14.60解析：四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即1331545460CCCC三、解答题（小题，每小题分）15.解析：个人排有种,人排好后包括两端共有个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将个空位安插在上述个“间隔”中,有种插法，故空位不相邻的坐法有种。(2)将相邻的个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往个“间隔”里插有种插法,故个空位中只有个相邻的坐法有种。(3)个空位至少有个相邻的情况有三类：①个空位各不相邻有种坐法;②个空位个相邻，另有个不相邻有种坐法;③个空位分两组,每组都有个相邻,有种坐法.综合上述,应有种坐法。16.解析：（1）任取三球恰好为红球的取法为434C种……………………………………2分任取三球恰好为白球的取法为2036C种…………………………………………4分任取三球恰好为同色球的不同的203634CC种………………………6分（2）设五个球中有x个红球，y的白球，则725yxyx………………………8分32yx或23yx或14yx………………………………………………10分总分不小于7分的不同取法186660120164426343624CCCCCC种……13分17.解析：（1）因为)2(A)]!1()1[()!1()!(!A11nknknnnknnknkn，所以当2n时，nnan1)AAA(21nnnn=)]AA([11111nnnnnnn111111)AA(1nnnna.所以naann11．………………………………4分（2）由（1）得1111nnnnnaaaa，即1111nnnnaaa，所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234naaaaaaaaaa…nnana)1(111(1)!(1)!nann)AAA(112111nnnn)!1(1!1nn…1112!1!11(1)(1)(2)nnnn…2211)2111()111(nnnn…2)211(n13．…………………10分［另法：可用数学归纳法来证明)!1(1!1nn…111132!1n！］18.解析：（1）由已知得257nnCCn（2）由已知得1351...128,2128,8nnnnCCCn，而展开式中二项式系数最大项是34444241831()()70TCxxxxx。19.解析：（1）把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有44A种,且甲、乙的位置还可以互换∴不同站法有44A·22A＝48种…………4分（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为33A，而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻;且甲、乙位置可以互换。故有24C22A种排列方式。∴不同站法有33A·24C22A=72种。…8分（3）优先考虑甲：若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为44A种;若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为13C13C33A种;∴不同站法有44A+13C13C33A=78种。…………………12分（注：也可优先考虑乙,还可优先考虑最左端与最右端的位置等,请酌情评分.）20.解析：（Ⅰ）因(0)1f.若令0,xy得220)0()0()0()1(ffff再令0y得2)0()0()()1(xffxffRxxxf,1)(（Ⅱ）∵1)(xxf，∴231)1(31)(31nnnnaaafa,∴113(1),nnaa又112,a∴数列1na是首项为2,公比为3的等比数列,∴1321nna，即1231nna（Ⅲ）∵Rxxxf,1)(，∴T=(1)11[1](1),2(1)2fnnnNfnn0122331111()()()()2222rrnnnnnTCCCCCnnnn…23211nn另一方面：因为rrrrrnrnrnnnnnC)21()21(321)1)...(2)(1()21(，所以12111()11111121()()()2(1)22122222212nrnnnT综上可得命题成立.