湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考（数学文）新人教A

长沙市一中2011届高三月考试卷(五)数学(文科)(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p：“x∈R，x2＋10”；命题q：“x∈R，sinx＝2”则下列判断正确的是()A.p或q为真，非p为真B.p或q为真，非p为假C.p且q为真，非p为真D.p且q为真，非p为假2.要得到一个奇函数，只需将函数f(x)＝sin(x－π3)的图象()A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f(x)＝2x－3x的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列判断正确的是()A.x甲x乙，且乙比甲成绩稳定B.x甲x乙，且甲比乙成绩稳定C.x甲x乙，且乙比甲成绩稳定D.x甲x乙，且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是()A.36B.43C.433D.836.设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是()A.若α∥β，m⊥α，则m⊥βB.若m⊥α，n⊥α，则m∥nC.若α⊥β，α∩β＝n，mα，m⊥n，则m⊥βD.若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D.不存在选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y＝2－x＋log3(1＋x)的定义域为.10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝π3，a＝3，c＝2，则△ABC的面积为______.12.若向量a、b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于.13.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线BD与B′C所成角为；直线A′C与平面ABCD所成角的正弦值为.x-y≥014.满足约束条件x+y≤2的点P(x，y)所在区域的面积等于.x+2y≥215.若函数y＝f(x)(x∈D)同时满足下列条件：(1)f(x)在D内为单调函数；(2)f(x)的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”.已知函数f(x)＝ax＋b－3lna，g(x)＝ax2＋b.①当a＝2时，f(x)＝ax＋b－3lna是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b的最小值为；②当－1≤a≤1，且a≠0，－1≤b≤1时，g(x)＝ax2＋b是[0,1]内的“保值函数”的概率为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos2α2的值；(2)求函数f(x)＝56cosαsin2x－12cos2x的单调递增区间.17.(本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)社团相关人数抽取人数模拟联合国24a街舞183动漫b4话剧12c(1)求a，b，c的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：PA⊥平面PCD.19.(本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋500(单位：万元).(1)求利润函数p(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)在经济学中，定义函数f(x)的边际函数Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).求边际利润函数Mp(x)，并求Mp(x)单调递减时x的取值范围；试说明Mp(x)单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)20.(本小题满分13分)已知点列B1(1，b1)，B2(2，b2)，…，Bn(n，bn)，…(n∈N)顺次为抛物线y＝14x2上的点，过点Bn(n，bn)作抛物线y＝14x2的切线交x轴于点An(an,0)，点Cn(cn,0)在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形.(1)求数列{an}，{cn}的通项公式；(2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由.(3)设数列{1an·(32＋cn)}的前n项和为Sn，求证：23≤Sn43.21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t)).(1)若a＝0，b＝3，函数f(x)在(t，t＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；(2)当a＝0时，f(x)x＋lnx＋1≥0对任意的x∈[12，＋∞)恒成立，求b的取值范围；(3)若0ab，函数f(x)在x＝s和x＝t处取得极值，且a＋b23，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直.数学(文科)答案选择题答题卡题号12345678答案BDBCCDBA二、.9.(－1,2].10.0.3011.32.12.135°.1333.14.13.15.①2；②14.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)解：(1)∵sin(π－α)＝45，∴sinα＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cosα＝35，(2分)∴sin2α－cos2α2＝2sinαcosα－1＋cosα2＝2×45×35－1＋352＝425，(6分)(2)f(x)＝56×35sin2x－12cos2x＝22sin(2x－π4)，(9分)令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z.(11分)∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π8，kπ＋3π8]，k∈Z.(12分)17.(本小题满分12分)解：(1)由表可知抽取比例为16，故a＝4，b＝24，c＝2.(4分)(2)设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15个，(8分)其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)共8个，(10分)所以这2人分别来自这两个社团的概率P＝815.(12分)18.(本小题满分12分)解：(1)证明：连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点故在△CPA中，EF//PA，(3分)且平面PAD，平面PAD，∴EF∥平面PAD.(6分)(2)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，(9分)又PA＝PD＝22AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即PA⊥PD，(11分)又CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.(12分)19.(本小题满分13分)解：(1)p(x)＝R(x)－C(x)＝3700x＋45x2－10x3－460x－500＝－10x3＋45x2＋3240x－500，(x∈N，1≤x≤20)(3分)(2)p′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，(6分)∴当0x12时，p′(x)＞0，当x＜12时，p′(x)＜0.∴x＝12时，p(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.(8分)(3)∵Mp(x)＝p(x＋1)－p(x)＝－10(x＋1)3＋45(x＋1)2＋3240(x＋1)－500－(－10x3＋45x2＋3240x－500)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305，(x∈N*,1≤x≤19)所以，当x≥1时，Mp(x)单调递减，x的取值范围为[1,19]，且x∈N.(11分)Mp(x)是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)20.(本小题满分13分)解：(1)∵y＝14x2，∴y′＝x2，y′|x＝n＝n2，则点Bn(n，bn)作抛物线y＝14x2的切线方程为：y－n24＝n2(x－n)，令y＝0，则x＝n2，即an＝n2；(3分)∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，则：an＋cn＝2n，∴cn＝2n－an＝3n2(5分)(2)若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|＝2bnn＝n22n＝2，∴存在n＝2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形(9分)(3)∵1an·(32＋cn)＝1n2(32＋3n2)＝134n(n＋1)＝43(1n－1n＋1)(11分)∴Sn＝43(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝43(1－1n＋1)43又1－1n＋1随n的增大而增大，∴当n＝1时Sn的最小值为：43(1－11＋1)＝23，∴23≤Sn43(13分)21.(本小题满分13分)解：(1)当a＝0，b＝3时f(x)＝x3－3x2，∴f′(x)＝3x2－6x，∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，(2分)所以f(x)在0和2处分别达到极大和极小，由已知有t0且t＋32，因而t的取值范围是(－1,0).(4分)(2)当a＝0时，f(x)x＋lnx＋1≥0即x2－bx＋lnx＋1≥0可化为x＋lnxx＋1x≥b，记g(x)＝x＋lnxx＋1x(x≥12)，则g′(x)＝1＋1－lnxx2－1x2＝x2－lnxx2.(6分)记m(x)＝x2－lnx，则m′(x)＝2x－1x，∴m(x)在(12，22)上递减，在(22，＋∞)上递增.∴m(x)≥m(22)＝12－ln220从而g′(x)0，∴g(x)在[12，＋∞)上递增因此g(x)min＝g(12)＝52－2ln2≥b，故b≤52－2ln2.(9分)(3)假设OA⊥OB，即OA·OB＝(s，f(s))·(t，f(t))＝st＋f(s)f(t)＝0故(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1，[st－(s＋t)a＋a2][st－(s＋t)b＋b2]＝－1由s，t为f′(x)＝0的两根可得，s＋t＝23(a＋b)，st＝ab3，(0ab)从而有ab(a－b)2＝9(11分)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝9ab＋4ab≥236＝12即a＋b≥23，这与a＋b23矛盾.故直线OA与直线OB不可能垂直.